Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38896 / 29488
↖ ↑ ↗
← N 17.727759°
E 33.662109°		 ← 581.84 m → N 17.727759°
E 33.667603°		 →
↑
581.86 m
↓
↑
581.86 m
↓
N 17.722526°
E 33.662109°		 ← 581.86 m →
338 559 m²		 N 17.722526°
E 33.667603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593513488769531 y=0.449958801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593513488769531 × 216)
    floor (0.593513488769531 × 65536)
    floor (38896.5)     		tx = 38896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449958801269531 × 216)
    floor (0.449958801269531 × 65536)
    floor (29488.5)     		ty = 29488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38896 / 29488 ti = "16/38896/29488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38896/29488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38896 ÷ 216
    38896 ÷ 65536     		x = 0.593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29488 ÷ 216
    29488 ÷ 65536     		y = 0.449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593505859375 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    0.10009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58751464} λ = 0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314466061507568))-π/2
    2×atan(1.36952787205533)-π/2
    2×0.940102041763515-π/2
    1.88020408352703-1.57079632675     		φ = 0.30940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.727759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38896 KachelY 29488 0.58751464 0.30940776 33.662109 17.727759
    Oben rechts KachelX + 1 38897 KachelY 29488 0.58761052 0.30940776 33.667603 17.727759
    Unten links KachelX 38896 KachelY + 1 29489 0.58751464 0.30931643 33.662109 17.722526
    Unten rechts KachelX + 1 38897 KachelY + 1 29489 0.58761052 0.30931643 33.667603 17.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30940776-0.30931643) × R
    9.13300000000006e-05 × 6371000     		dl = 581.863430000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30940776-0.30931643) × R
    9.13300000000006e-05 × 6371000     		dr = 581.863430000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58751464-0.58761052) × cos(0.30940776) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952514070787353 × 6371000     		do = 581.844629861572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58751464-0.58761052) × cos(0.30931643) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952541876304121 × 6371000     		du = 581.861614902641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30940776)-sin(0.30931643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952514070787353-0.952541876304121)×R²
    abs(0.58761052-0.58751464)×2.78055167679536e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.78055167679536e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.78055167679536e-05×40589641000000     		ar = 338559.053780821m²