Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38896 / 28653
↖ ↑ ↗
← N 22.039821°
E 33.662109°		 ← 566.21 m → N 22.039821°
E 33.667603°		 →
↑
566.13 m
↓
↑
566.13 m
↓
N 22.034730°
E 33.662109°		 ← 566.23 m →
320 554 m²		 N 22.034730°
E 33.667603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593513488769531 y=0.437217712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593513488769531 × 216)
    floor (0.593513488769531 × 65536)
    floor (38896.5)     		tx = 38896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437217712402344 × 216)
    floor (0.437217712402344 × 65536)
    floor (28653.5)     		ty = 28653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38896 / 28653 ti = "16/38896/28653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38896/28653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38896 ÷ 216
    38896 ÷ 65536     		x = 0.593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28653 ÷ 216
    28653 ÷ 65536     		y = 0.437210083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593505859375 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437210083007812 × 2 - 1) × π
    0.125579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.394520683873062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58751464} λ = 0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394520683873062))-π/2
    2×atan(1.48367287212654)-π/2
    2×0.977731890566705-π/2
    1.95546378113341-1.57079632675     		φ = 0.38466745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38466745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.039821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38896 KachelY 28653 0.58751464 0.38466745 33.662109 22.039821
    Oben rechts KachelX + 1 38897 KachelY 28653 0.58761052 0.38466745 33.667603 22.039821
    Unten links KachelX 38896 KachelY + 1 28654 0.58751464 0.38457859 33.662109 22.034730
    Unten rechts KachelX + 1 38897 KachelY + 1 28654 0.58761052 0.38457859 33.667603 22.034730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38466745-0.38457859) × R
    8.88600000000239e-05 × 6371000     		dl = 566.127060000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38466745-0.38457859) × R
    8.88600000000239e-05 × 6371000     		dr = 566.127060000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58751464-0.58761052) × cos(0.38466745) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.92692327361472 × 6371000     		do = 566.212453534281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58751464-0.58761052) × cos(0.38457859) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.926956614750925 × 6371000     		du = 566.232820016677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38466745)-sin(0.38457859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92692327361472-0.926956614750925)×R²
    abs(0.58761052-0.58751464)×3.33411362055669e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.33411362055669e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.33411362055669e-05×40589641000000     		ar = 320553.956874159m²