Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38895 / 28655
↖ ↑ ↗
← N 22.029638°
E 33.656616°		 ← 566.19 m → N 22.029638°
E 33.662109°		 →
↑
566.19 m
↓
↑
566.19 m
↓
N 22.024546°
E 33.656616°		 ← 566.21 m →
320 580 m²		 N 22.024546°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593498229980469 y=0.437248229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593498229980469 × 216)
    floor (0.593498229980469 × 65536)
    floor (38895.5)     		tx = 38895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437248229980469 × 216)
    floor (0.437248229980469 × 65536)
    floor (28655.5)     		ty = 28655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38895 / 28655 ti = "16/38895/28655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38895/28655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38895 ÷ 216
    38895 ÷ 65536     		x = 0.593490600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28655 ÷ 216
    28655 ÷ 65536     		y = 0.437240600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593490600585938 × 2 - 1) × π
    0.186981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58741877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437240600585938 × 2 - 1) × π
    0.125518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.394328936274582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58741877} λ = 0.58741877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394328936274582))-π/2
    2×atan(1.48338840868984)-π/2
    2×0.97764301971424-π/2
    1.95528603942848-1.57079632675     		φ = 0.38448971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58741877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.656616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38448971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.029638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38895 KachelY 28655 0.58741877 0.38448971 33.656616 22.029638
    Oben rechts KachelX + 1 38896 KachelY 28655 0.58751464 0.38448971 33.662109 22.029638
    Unten links KachelX 38895 KachelY + 1 28656 0.58741877 0.38440084 33.656616 22.024546
    Unten rechts KachelX + 1 38896 KachelY + 1 28656 0.58751464 0.38440084 33.662109 22.024546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38448971-0.38440084) × R
    8.88699999999631e-05 × 6371000     		dl = 566.190769999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38448971-0.38440084) × R
    8.88699999999631e-05 × 6371000     		dr = 566.190769999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58741877-0.58751464) × cos(0.38448971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926989956069512 × 6371000     		do = 566.194128080083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58741877-0.58751464) × cos(0.38440084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927023286315161 × 6371000     		du = 566.214485786497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38448971)-sin(0.38440084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926989956069512-0.927023286315161)×R²
    abs(0.58751464-0.58741877)×3.33302456489992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33302456489992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33302456489992e-05×40589641000000     		ar = 320579.652730834m²