Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38893 / 29486
↖ ↑ ↗
← N 17.738223°
E 33.645630°		 ← 581.75 m → N 17.738223°
E 33.651123°		 →
↑
581.74 m
↓
↑
581.74 m
↓
N 17.732991°
E 33.645630°		 ← 581.77 m →
338 430 m²		 N 17.732991°
E 33.651123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593467712402344 y=0.449928283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593467712402344 × 216)
    floor (0.593467712402344 × 65536)
    floor (38893.5)     		tx = 38893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449928283691406 × 216)
    floor (0.449928283691406 × 65536)
    floor (29486.5)     		ty = 29486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38893 / 29486 ti = "16/38893/29486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38893/29486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38893 ÷ 216
    38893 ÷ 65536     		x = 0.593460083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29486 ÷ 216
    29486 ÷ 65536     		y = 0.449920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593460083007812 × 2 - 1) × π
    0.186920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58722702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449920654296875 × 2 - 1) × π
    0.10015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314657809106049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58722702} λ = 0.58722702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314657809106049))-π/2
    2×atan(1.36979050091427)-π/2
    2×0.940193360240008-π/2
    1.88038672048002-1.57079632675     		φ = 0.30959039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58722702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.645630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30959039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.738223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38893 KachelY 29486 0.58722702 0.30959039 33.645630 17.738223
    Oben rechts KachelX + 1 38894 KachelY 29486 0.58732289 0.30959039 33.651123 17.738223
    Unten links KachelX 38893 KachelY + 1 29487 0.58722702 0.30949908 33.645630 17.732991
    Unten rechts KachelX + 1 38894 KachelY + 1 29487 0.58732289 0.30949908 33.651123 17.732991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30959039-0.30949908) × R
    9.13100000000111e-05 × 6371000     		dl = 581.736010000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30959039-0.30949908) × R
    9.13100000000111e-05 × 6371000     		dr = 581.736010000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58722702-0.58732289) × cos(0.30959039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952458445058863 × 6371000     		do = 581.749969675158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58722702-0.58732289) × cos(0.30949908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95248626037132 × 6371000     		du = 581.766958927825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30959039)-sin(0.30949908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952458445058863-0.95248626037132)×R²
    abs(0.58732289-0.58722702)×2.78153124567693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78153124567693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78153124567693e-05×40589641000000     		ar = 338429.848041644m²