Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38892 / 28556
↖ ↑ ↗
← N 22.532854°
E 33.640137°		 ← 564.16 m → N 22.532854°
E 33.645630°		 →
↑
564.22 m
↓
↑
564.22 m
↓
N 22.527780°
E 33.640137°		 ← 564.18 m →
318 314 m²		 N 22.527780°
E 33.645630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593452453613281 y=0.435737609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593452453613281 × 216)
    floor (0.593452453613281 × 65536)
    floor (38892.5)     		tx = 38892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435737609863281 × 216)
    floor (0.435737609863281 × 65536)
    floor (28556.5)     		ty = 28556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38892 / 28556 ti = "16/38892/28556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38892/28556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38892 ÷ 216
    38892 ÷ 65536     		x = 0.59344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28556 ÷ 216
    28556 ÷ 65536     		y = 0.43572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59344482421875 × 2 - 1) × π
    0.1868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58713115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    0.1285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.403820442399353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58713115} λ = 0.58713115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403820442399353))-π/2
    2×atan(1.49753502901904)-π/2
    2×0.982034406925398-π/2
    1.9640688138508-1.57079632675     		φ = 0.39327249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58713115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39327249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.532854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38892 KachelY 28556 0.58713115 0.39327249 33.640137 22.532854
    Oben rechts KachelX + 1 38893 KachelY 28556 0.58722702 0.39327249 33.645630 22.532854
    Unten links KachelX 38892 KachelY + 1 28557 0.58713115 0.39318393 33.640137 22.527780
    Unten rechts KachelX + 1 38893 KachelY + 1 28557 0.58722702 0.39318393 33.645630 22.527780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39327249-0.39318393) × R
    8.85599999999598e-05 × 6371000     		dl = 564.215759999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39327249-0.39318393) × R
    8.85599999999598e-05 × 6371000     		dr = 564.215759999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58713115-0.58722702) × cos(0.39327249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923659946781991 × 6371000     		do = 564.160199133278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58713115-0.58722702) × cos(0.39318393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923693880514631 × 6371000     		du = 564.180925442166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39327249)-sin(0.39318393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923659946781991-0.923693880514631)×R²
    abs(0.58722702-0.58713115)×3.39337326403788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39337326403788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39337326403788e-05×40589641000000     		ar = 318313.922778706m²