Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3889 / 2470
↖ ↑ ↗
← N 57.938183°
W  9.096680°		 ← 2 593.92 m → N 57.938183°
W  9.052734°		 →
↑
2 594.78 m
↓
↑
2 594.78 m
↓
N 57.914848°
W  9.096680°		 ← 2 595.60 m →
6 732 833 m²		 N 57.914848°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47479248046875 y=0.30157470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47479248046875 × 213)
    floor (0.47479248046875 × 8192)
    floor (3889.5)     		tx = 3889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30157470703125 × 213)
    floor (0.30157470703125 × 8192)
    floor (2470.5)     		ty = 2470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3889 / 2470 ti = "13/3889/2470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3889/2470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3889 ÷ 213
    3889 ÷ 8192     		x = 0.4747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2470 ÷ 213
    2470 ÷ 8192     		y = 0.301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301513671875 × 2 - 1) × π
    0.39697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24712638051538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15876701} λ = -0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24712638051538))-π/2
    2×atan(3.48032743722042)-π/2
    2×1.291004191481-π/2
    2.582008382962-1.57079632675     		φ = 1.01121206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01121206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.938183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3889 KachelY 2470 -0.15876701 1.01121206 -9.096680 57.938183
    Oben rechts KachelX + 1 3890 KachelY 2470 -0.15800002 1.01121206 -9.052734 57.938183
    Unten links KachelX 3889 KachelY + 1 2471 -0.15876701 1.01080478 -9.096680 57.914848
    Unten rechts KachelX + 1 3890 KachelY + 1 2471 -0.15800002 1.01080478 -9.052734 57.914848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01121206-1.01080478) × R
    0.000407280000000121 × 6371000     		dl = 2594.78088000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01121206-1.01080478) × R
    0.000407280000000121 × 6371000     		dr = 2594.78088000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15876701--0.15800002) × cos(1.01121206) × R
    0.000766989999999995 × 0.530833919944645 × 6371000     		do = 2593.91638791389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15876701--0.15800002) × cos(1.01080478) × R
    0.000766989999999995 × 0.531179035880677 × 6371000     		du = 2595.60279461958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01121206)-sin(1.01080478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530833919944645-0.531179035880677)×R²
    abs(-0.15800002--0.15876701)×0.000345115936032037×R²
    0.000766989999999995×0.000345115936032037×6371000²
    0.000766989999999995×0.000345115936032037×40589641000000     		ar = 6732832.66868606m²