Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38889 / 28615
↖ ↑ ↗
← N 22.233175°
E 33.623658°		 ← 565.38 m → N 22.233175°
E 33.629150°		 →
↑
565.43 m
↓
↑
565.43 m
↓
N 22.228090°
E 33.623658°		 ← 565.40 m →
319 685 m²		 N 22.228090°
E 33.629150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593406677246094 y=0.436637878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593406677246094 × 216)
    floor (0.593406677246094 × 65536)
    floor (38889.5)     		tx = 38889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436637878417969 × 216)
    floor (0.436637878417969 × 65536)
    floor (28615.5)     		ty = 28615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38889 / 28615 ti = "16/38889/28615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38889/28615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38889 ÷ 216
    38889 ÷ 65536     		x = 0.593399047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28615 ÷ 216
    28615 ÷ 65536     		y = 0.436630249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593399047851562 × 2 - 1) × π
    0.186798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58684353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436630249023438 × 2 - 1) × π
    0.126739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398163888244186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58684353} λ = 0.58684353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398163888244186))-π/2
    2×atan(1.489088053937)-π/2
    2×0.979419219169303-π/2
    1.95883843833861-1.57079632675     		φ = 0.38804211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58684353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.623658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38804211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.233175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38889 KachelY 28615 0.58684353 0.38804211 33.623658 22.233175
    Oben rechts KachelX + 1 38890 KachelY 28615 0.58693940 0.38804211 33.629150 22.233175
    Unten links KachelX 38889 KachelY + 1 28616 0.58684353 0.38795336 33.623658 22.228090
    Unten rechts KachelX + 1 38890 KachelY + 1 28616 0.58693940 0.38795336 33.629150 22.228090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38804211-0.38795336) × R
    8.87499999999708e-05 × 6371000     		dl = 565.426249999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38804211-0.38795336) × R
    8.87499999999708e-05 × 6371000     		dr = 565.426249999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58684353-0.58693940) × cos(0.38804211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92565165373607 × 6371000     		do = 565.376709382254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58684353-0.58693940) × cos(0.38795336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925685231033092 × 6371000     		du = 565.397217984625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38804211)-sin(0.38795336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92565165373607-0.925685231033092)×R²
    abs(0.58693940-0.58684353)×3.3577297022358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3577297022358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3577297022358e-05×40589641000000     		ar = 319684.63088414m²