Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38886 / 28702
↖ ↑ ↗
← N 21.790107°
E 33.607178°		 ← 567.21 m → N 21.790107°
E 33.612671°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
N 21.785006°
E 33.607178°		 ← 567.23 m →
321 695 m²		 N 21.785006°
E 33.612671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593360900878906 y=0.437965393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593360900878906 × 216)
    floor (0.593360900878906 × 65536)
    floor (38886.5)     		tx = 38886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437965393066406 × 216)
    floor (0.437965393066406 × 65536)
    floor (28702.5)     		ty = 28702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38886 / 28702 ti = "16/38886/28702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38886/28702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38886 ÷ 216
    38886 ÷ 65536     		x = 0.593353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28702 ÷ 216
    28702 ÷ 65536     		y = 0.437957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593353271484375 × 2 - 1) × π
    0.18670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58655590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437957763671875 × 2 - 1) × π
    0.12408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.389822867710297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58655590} λ = 0.58655590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389822867710297))-π/2
    2×atan(1.47671919606217)-π/2
    2×0.975552719670129-π/2
    1.95110543934026-1.57079632675     		φ = 0.38030911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58655590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38030911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.790107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38886 KachelY 28702 0.58655590 0.38030911 33.607178 21.790107
    Oben rechts KachelX + 1 38887 KachelY 28702 0.58665178 0.38030911 33.612671 21.790107
    Unten links KachelX 38886 KachelY + 1 28703 0.58655590 0.38022009 33.607178 21.785006
    Unten rechts KachelX + 1 38887 KachelY + 1 28703 0.58665178 0.38022009 33.612671 21.785006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38030911-0.38022009) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38030911-0.38022009) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58655590-0.58665178) × cos(0.38030911) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.928549935985551 × 6371000     		do = 567.206102650307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58655590-0.58665178) × cos(0.38022009) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		du = 567.226285924432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38030911)-sin(0.38022009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928549935985551-0.928582977198981)×R²
    abs(0.58665178-0.58655590)×3.30412134295077e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30412134295077e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30412134295077e-05×40589641000000     		ar = 321694.634168381m²