Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38883 / 28705
↖ ↑ ↗
← N 21.774804°
E 33.590698°		 ← 567.27 m → N 21.774804°
E 33.596192°		 →
↑
567.27 m
↓
↑
567.27 m
↓
N 21.769703°
E 33.590698°		 ← 567.29 m →
321 801 m²		 N 21.769703°
E 33.596192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593315124511719 y=0.438011169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593315124511719 × 216)
    floor (0.593315124511719 × 65536)
    floor (38883.5)     		tx = 38883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438011169433594 × 216)
    floor (0.438011169433594 × 65536)
    floor (28705.5)     		ty = 28705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38883 / 28705 ti = "16/38883/28705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38883/28705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38883 ÷ 216
    38883 ÷ 65536     		x = 0.593307495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28705 ÷ 216
    28705 ÷ 65536     		y = 0.438003540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593307495117188 × 2 - 1) × π
    0.186614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58626828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438003540039062 × 2 - 1) × π
    0.123992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.389535246312576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58626828} λ = 0.58626828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389535246312576))-π/2
    2×atan(1.47629452109869)-π/2
    2×0.975419177127776-π/2
    1.95083835425555-1.57079632675     		φ = 0.38004203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58626828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.590698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38004203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.774804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38883 KachelY 28705 0.58626828 0.38004203 33.590698 21.774804
    Oben rechts KachelX + 1 38884 KachelY 28705 0.58636416 0.38004203 33.596192 21.774804
    Unten links KachelX 38883 KachelY + 1 28706 0.58626828 0.37995299 33.590698 21.769703
    Unten rechts KachelX + 1 38884 KachelY + 1 28706 0.58636416 0.37995299 33.596192 21.769703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38004203-0.37995299) × R
    8.90399999999847e-05 × 6371000     		dl = 567.273839999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38004203-0.37995299) × R
    8.90399999999847e-05 × 6371000     		dr = 567.273839999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58626828-0.58636416) × cos(0.38004203) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928649044968933 × 6371000     		do = 567.266643520144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58626828-0.58636416) × cos(0.37995299) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928682071521624 × 6371000     		du = 567.286817838735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38004203)-sin(0.37995299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928649044968933-0.928682071521624)×R²
    abs(0.58636416-0.58626828)×3.30265526916618e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.30265526916618e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.30265526916618e-05×40589641000000     		ar = 321801.249567715m²