Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3888 / 4783
↖ ↑ ↗
← S 28.883159°
W  9.140625°		 ← 4 278.65 m → S 28.883159°
W  9.096680°		 →
↑
4 277.87 m
↓
↑
4 277.87 m
↓
S 28.921631°
W  9.140625°		 ← 4 277.06 m →
18 300 105 m²		 S 28.921631°
W  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47467041015625 y=0.58392333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47467041015625 × 213)
    floor (0.47467041015625 × 8192)
    floor (3888.5)     		tx = 3888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58392333984375 × 213)
    floor (0.58392333984375 × 8192)
    floor (4783.5)     		ty = 4783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3888 / 4783 ti = "13/3888/4783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3888/4783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3888 ÷ 213
    3888 ÷ 8192     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4783 ÷ 213
    4783 ÷ 8192     		y = 0.5838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.526922400623657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526922400623657))-π/2
    2×atan(0.590419250348465)-π/2
    2×0.533345046623175-π/2
    1.06669009324635-1.57079632675     		φ = -0.50410623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50410623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.883159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3888 KachelY 4783 -0.15953400 -0.50410623 -9.140625 -28.883159
    Oben rechts KachelX + 1 3889 KachelY 4783 -0.15876701 -0.50410623 -9.096680 -28.883159
    Unten links KachelX 3888 KachelY + 1 4784 -0.15953400 -0.50477769 -9.140625 -28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 3889 KachelY + 1 4784 -0.15876701 -0.50477769 -9.096680 -28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50410623--0.50477769) × R
    0.000671459999999957 × 6371000     		dl = 4277.87165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50410623--0.50477769) × R
    0.000671459999999957 × 6371000     		dr = 4277.87165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15876701) × cos(-0.50410623) × R
    0.000766990000000023 × 0.87560653738905 × 6371000     		do = 4278.64546963185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15876701) × cos(-0.50477769) × R
    0.000766990000000023 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 4277.05965910159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50410623)-sin(-0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87560653738905-0.875282008031053)×R²
    abs(-0.15876701--0.15953400)×0.000324529357996761×R²
    0.000766990000000023×0.000324529357996761×6371000²
    0.000766990000000023×0.000324529357996761×40589641000000     		ar = 18300104.9383242m²