Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38878 / 41799
↖ ↑ ↗
← S 44.367060°
E 33.563232°		 ← 436.68 m → S 44.367060°
E 33.568726°		 →
↑
436.60 m
↓
↑
436.60 m
↓
S 44.370987°
E 33.563232°		 ← 436.65 m →
190 651 m²		 S 44.370987°
E 33.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593238830566406 y=0.637809753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593238830566406 × 216)
    floor (0.593238830566406 × 65536)
    floor (38878.5)     		tx = 38878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637809753417969 × 216)
    floor (0.637809753417969 × 65536)
    floor (41799.5)     		ty = 41799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38878 / 41799 ti = "16/38878/41799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38878/41799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38878 ÷ 216
    38878 ÷ 65536     		x = 0.593231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41799 ÷ 216
    41799 ÷ 65536     		y = 0.637802124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593231201171875 × 2 - 1) × π
    0.18646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58578891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637802124023438 × 2 - 1) × π
    -0.275604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.865836280937454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58578891} λ = 0.58578891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865836280937454))-π/2
    2×atan(0.420699582433668)-π/2
    2×0.39822252370765-π/2
    0.7964450474153-1.57079632675     		φ = -0.77435128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58578891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77435128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.367060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38878 KachelY 41799 0.58578891 -0.77435128 33.563232 -44.367060
    Oben rechts KachelX + 1 38879 KachelY 41799 0.58588479 -0.77435128 33.568726 -44.367060
    Unten links KachelX 38878 KachelY + 1 41800 0.58578891 -0.77441981 33.563232 -44.370987
    Unten rechts KachelX + 1 38879 KachelY + 1 41800 0.58588479 -0.77441981 33.568726 -44.370987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77435128--0.77441981) × R
    6.85300000000666e-05 × 6371000     		dl = 436.604630000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77435128--0.77441981) × R
    6.85300000000666e-05 × 6371000     		dr = 436.604630000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58578891-0.58588479) × cos(-0.77435128) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714874803508867 × 6371000     		do = 436.68233173832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58578891-0.58588479) × cos(-0.77441981) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714826882058554 × 6371000     		du = 436.653058849472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77435128)-sin(-0.77441981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714874803508867-0.714826882058554)×R²
    abs(0.58588479-0.58578891)×4.7921450313515e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7921450313515e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7921450313515e-05×40589641000000     		ar = 190651.137611552m²