Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38878 / 28582
↖ ↑ ↗
← N 22.400871°
E 33.563232°		 ← 564.76 m → N 22.400871°
E 33.568726°		 →
↑
564.73 m
↓
↑
564.73 m
↓
N 22.395793°
E 33.563232°		 ← 564.78 m →
318 938 m²		 N 22.395793°
E 33.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593238830566406 y=0.436134338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593238830566406 × 216)
    floor (0.593238830566406 × 65536)
    floor (38878.5)     		tx = 38878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436134338378906 × 216)
    floor (0.436134338378906 × 65536)
    floor (28582.5)     		ty = 28582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38878 / 28582 ti = "16/38878/28582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38878/28582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38878 ÷ 216
    38878 ÷ 65536     		x = 0.593231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28582 ÷ 216
    28582 ÷ 65536     		y = 0.436126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593231201171875 × 2 - 1) × π
    0.18646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58578891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436126708984375 × 2 - 1) × π
    0.12774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.40132772361911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58578891} λ = 0.58578891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40132772361911))-π/2
    2×atan(1.49380674404164)-π/2
    2×0.980882645675794-π/2
    1.96176529135159-1.57079632675     		φ = 0.39096896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58578891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39096896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.400871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38878 KachelY 28582 0.58578891 0.39096896 33.563232 22.400871
    Oben rechts KachelX + 1 38879 KachelY 28582 0.58588479 0.39096896 33.568726 22.400871
    Unten links KachelX 38878 KachelY + 1 28583 0.58578891 0.39088032 33.563232 22.395793
    Unten rechts KachelX + 1 38879 KachelY + 1 28583 0.58588479 0.39088032 33.568726 22.395793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39096896-0.39088032) × R
    8.86399999999732e-05 × 6371000     		dl = 564.725439999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39096896-0.39088032) × R
    8.86399999999732e-05 × 6371000     		dr = 564.725439999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58578891-0.58588479) × cos(0.39096896) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.924540238357356 × 6371000     		do = 564.756772920427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58578891-0.58588479) × cos(0.39088032) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.924574014049674 × 6371000     		du = 564.777404852068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39096896)-sin(0.39088032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924540238357356-0.924574014049674)×R²
    abs(0.58588479-0.58578891)×3.37756923179944e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.37756923179944e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.37756923179944e-05×40589641000000     		ar = 318938.342977497m²