Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38873 / 42165
↖ ↑ ↗
← S 45.786679°
E 33.535766°		 ← 425.97 m → S 45.786679°
E 33.541260°		 →
↑
425.97 m
↓
↑
425.97 m
↓
S 45.790510°
E 33.535766°		 ← 425.94 m →
181 440 m²		 S 45.790510°
E 33.541260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593162536621094 y=0.643394470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593162536621094 × 216)
    floor (0.593162536621094 × 65536)
    floor (38873.5)     		tx = 38873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643394470214844 × 216)
    floor (0.643394470214844 × 65536)
    floor (42165.5)     		ty = 42165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38873 / 42165 ti = "16/38873/42165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38873/42165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38873 ÷ 216
    38873 ÷ 65536     		x = 0.593154907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42165 ÷ 216
    42165 ÷ 65536     		y = 0.643386840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593154907226562 × 2 - 1) × π
    0.186309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58530954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643386840820312 × 2 - 1) × π
    -0.286773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.900926091459335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58530954} λ = 0.58530954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900926091459335))-π/2
    2×atan(0.406193313343578)-π/2
    2×0.385834011993588-π/2
    0.771668023987175-1.57079632675     		φ = -0.79912830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58530954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.535766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79912830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.786679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38873 KachelY 42165 0.58530954 -0.79912830 33.535766 -45.786679
    Oben rechts KachelX + 1 38874 KachelY 42165 0.58540542 -0.79912830 33.541260 -45.786679
    Unten links KachelX 38873 KachelY + 1 42166 0.58530954 -0.79919516 33.535766 -45.790510
    Unten rechts KachelX + 1 38874 KachelY + 1 42166 0.58540542 -0.79919516 33.541260 -45.790510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79912830--0.79919516) × R
    6.68600000000019e-05 × 6371000     		dl = 425.965060000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79912830--0.79919516) × R
    6.68600000000019e-05 × 6371000     		dr = 425.965060000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58530954-0.58540542) × cos(-0.79912830) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.697331763872337 × 6371000     		do = 425.966140012148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58530954-0.58540542) × cos(-0.79919516) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.697283840509089 × 6371000     		du = 425.936865954782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79912830)-sin(-0.79919516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697331763872337-0.697283840509089)×R²
    abs(0.58540542-0.58530954)×4.79233632473264e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79233632473264e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79233632473264e-05×40589641000000     		ar = 181440.457593153m²