Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38873 / 28632
↖ ↑ ↗
← N 22.146708°
E 33.535766°		 ← 565.78 m → N 22.146708°
E 33.541260°		 →
↑
565.74 m
↓
↑
565.74 m
↓
N 22.141620°
E 33.535766°		 ← 565.80 m →
320 095 m²		 N 22.141620°
E 33.541260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593162536621094 y=0.436897277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593162536621094 × 216)
    floor (0.593162536621094 × 65536)
    floor (38873.5)     		tx = 38873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436897277832031 × 216)
    floor (0.436897277832031 × 65536)
    floor (28632.5)     		ty = 28632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38873 / 28632 ti = "16/38873/28632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38873/28632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38873 ÷ 216
    38873 ÷ 65536     		x = 0.593154907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28632 ÷ 216
    28632 ÷ 65536     		y = 0.4368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593154907226562 × 2 - 1) × π
    0.186309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58530954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396534033657104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58530954} λ = 0.58530954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396534033657104))-π/2
    2×atan(1.48666303369372)-π/2
    2×0.978664648011332-π/2
    1.95732929602266-1.57079632675     		φ = 0.38653297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58530954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.535766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38653297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.146708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38873 KachelY 28632 0.58530954 0.38653297 33.535766 22.146708
    Oben rechts KachelX + 1 38874 KachelY 28632 0.58540542 0.38653297 33.541260 22.146708
    Unten links KachelX 38873 KachelY + 1 28633 0.58530954 0.38644417 33.535766 22.141620
    Unten rechts KachelX + 1 38874 KachelY + 1 28633 0.58540542 0.38644417 33.541260 22.141620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38653297-0.38644417) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dl = 565.7448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38653297-0.38644417) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dr = 565.7448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58530954-0.58540542) × cos(0.38653297) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.926221623022251 × 6371000     		do = 565.783849230773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58530954-0.58540542) × cos(0.38644417) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.926255095145454 × 6371000     		du = 565.804295726771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38653297)-sin(0.38644417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926221623022251-0.926255095145454)×R²
    abs(0.58540542-0.58530954)×3.34721232038149e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34721232038149e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34721232038149e-05×40589641000000     		ar = 320095.054585868m²