Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38872 / 42200
↖ ↑ ↗
← S 45.920587°
E 33.530273°		 ← 424.90 m → S 45.920587°
E 33.535766°		 →
↑
424.95 m
↓
↑
424.95 m
↓
S 45.924409°
E 33.530273°		 ← 424.87 m →
180 552 m²		 S 45.924409°
E 33.535766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593147277832031 y=0.643928527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593147277832031 × 216)
    floor (0.593147277832031 × 65536)
    floor (38872.5)     		tx = 38872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643928527832031 × 216)
    floor (0.643928527832031 × 65536)
    floor (42200.5)     		ty = 42200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38872 / 42200 ti = "16/38872/42200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38872/42200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38872 ÷ 216
    38872 ÷ 65536     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42200 ÷ 216
    42200 ÷ 65536     		y = 0.6439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.287841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904281674432739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904281674432739))-π/2
    2×atan(0.404832582277223)-π/2
    2×0.384665441598817-π/2
    0.769330883197634-1.57079632675     		φ = -0.80146544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80146544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.920587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38872 KachelY 42200 0.58521367 -0.80146544 33.530273 -45.920587
    Oben rechts KachelX + 1 38873 KachelY 42200 0.58530954 -0.80146544 33.535766 -45.920587
    Unten links KachelX 38872 KachelY + 1 42201 0.58521367 -0.80153214 33.530273 -45.924409
    Unten rechts KachelX + 1 38873 KachelY + 1 42201 0.58530954 -0.80153214 33.535766 -45.924409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80146544--0.80153214) × R
    6.66999999999751e-05 × 6371000     		dl = 424.945699999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80146544--0.80153214) × R
    6.66999999999751e-05 × 6371000     		dr = 424.945699999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58530954) × cos(-0.80146544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695654719319868 × 6371000     		do = 424.897394703349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58530954) × cos(-0.80153214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695606802073105 × 6371000     		du = 424.868127435054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80146544)-sin(-0.80153214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695654719319868-0.695606802073105)×R²
    abs(0.58530954-0.58521367)×4.79172467633404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79172467633404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79172467633404e-05×40589641000000     		ar = 180552.102387161m²