Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38872 / 28631
↖ ↑ ↗
← N 22.151796°
E 33.530273°		 ← 565.70 m → N 22.151796°
E 33.535766°		 →
↑
565.74 m
↓
↑
565.74 m
↓
N 22.146708°
E 33.530273°		 ← 565.72 m →
320 050 m²		 N 22.146708°
E 33.535766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593147277832031 y=0.436882019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593147277832031 × 216)
    floor (0.593147277832031 × 65536)
    floor (38872.5)     		tx = 38872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436882019042969 × 216)
    floor (0.436882019042969 × 65536)
    floor (28631.5)     		ty = 28631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38872 / 28631 ti = "16/38872/28631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38872/28631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38872 ÷ 216
    38872 ÷ 65536     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28631 ÷ 216
    28631 ÷ 65536     		y = 0.436874389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436874389648438 × 2 - 1) × π
    0.126251220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396629907456345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396629907456345))-π/2
    2×atan(1.48680557255972)-π/2
    2×0.9787090474019-π/2
    1.9574180948038-1.57079632675     		φ = 0.38662177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38662177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.151796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38872 KachelY 28631 0.58521367 0.38662177 33.530273 22.151796
    Oben rechts KachelX + 1 38873 KachelY 28631 0.58530954 0.38662177 33.535766 22.151796
    Unten links KachelX 38872 KachelY + 1 28632 0.58521367 0.38653297 33.530273 22.146708
    Unten rechts KachelX + 1 38873 KachelY + 1 28632 0.58530954 0.38653297 33.535766 22.146708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38662177-0.38653297) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dl = 565.7448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38662177-0.38653297) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dr = 565.7448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58530954) × cos(0.38662177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926188143595382 × 6371000     		do = 565.704390827051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58530954) × cos(0.38653297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926221623022251 × 6371000     		du = 565.724839651529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38662177)-sin(0.38653297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926188143595382-0.926221623022251)×R²
    abs(0.58530954-0.58521367)×3.3479426868821e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3479426868821e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3479426868821e-05×40589641000000     		ar = 320050.102066117m²