Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38871 / 28975
↖ ↑ ↗
← N 20.390974°
E 33.524780°		 ← 572.51 m → N 20.390974°
E 33.530273°		 →
↑
572.56 m
↓
↑
572.56 m
↓
N 20.385825°
E 33.524780°		 ← 572.53 m →
327 805 m²		 N 20.385825°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593132019042969 y=0.442131042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593132019042969 × 216)
    floor (0.593132019042969 × 65536)
    floor (38871.5)     		tx = 38871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442131042480469 × 216)
    floor (0.442131042480469 × 65536)
    floor (28975.5)     		ty = 28975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38871 / 28975 ti = "16/38871/28975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38871/28975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38871 ÷ 216
    38871 ÷ 65536     		x = 0.593124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28975 ÷ 216
    28975 ÷ 65536     		y = 0.442123413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593124389648438 × 2 - 1) × π
    0.186248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58511780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442123413085938 × 2 - 1) × π
    0.115753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.363649320517746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58511780} λ = 0.58511780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363649320517746))-π/2
    2×atan(1.43856964883322)-π/2
    2×0.96334298399245-π/2
    1.9266859679849-1.57079632675     		φ = 0.35588964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58511780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.524780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35588964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.390974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38871 KachelY 28975 0.58511780 0.35588964 33.524780 20.390974
    Oben rechts KachelX + 1 38872 KachelY 28975 0.58521367 0.35588964 33.530273 20.390974
    Unten links KachelX 38871 KachelY + 1 28976 0.58511780 0.35579977 33.524780 20.385825
    Unten rechts KachelX + 1 38872 KachelY + 1 28976 0.58521367 0.35579977 33.530273 20.385825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35588964-0.35579977) × R
    8.98699999999919e-05 × 6371000     		dl = 572.561769999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35588964-0.35579977) × R
    8.98699999999919e-05 × 6371000     		dr = 572.561769999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58511780-0.58521367) × cos(0.35588964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937336887513105 × 6371000     		do = 572.513907262858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58511780-0.58521367) × cos(0.35579977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937368196628222 × 6371000     		du = 572.533030487461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35588964)-sin(0.35579977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937336887513105-0.937368196628222)×R²
    abs(0.58521367-0.58511780)×3.13091151166178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13091151166178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13091151166178e-05×40589641000000     		ar = 327805.050926347m²