Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38870 / 29524
↖ ↑ ↗
← N 17.539296°
E 33.519287°		 ← 582.45 m → N 17.539296°
E 33.524780°		 →
↑
582.37 m
↓
↑
582.37 m
↓
N 17.534059°
E 33.519287°		 ← 582.47 m →
339 210 m²		 N 17.534059°
E 33.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593116760253906 y=0.450508117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593116760253906 × 216)
    floor (0.593116760253906 × 65536)
    floor (38870.5)     		tx = 38870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450508117675781 × 216)
    floor (0.450508117675781 × 65536)
    floor (29524.5)     		ty = 29524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38870 / 29524 ti = "16/38870/29524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38870/29524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38870 ÷ 216
    38870 ÷ 65536     		x = 0.593109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29524 ÷ 216
    29524 ÷ 65536     		y = 0.45050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593109130859375 × 2 - 1) × π
    0.18621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58502192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45050048828125 × 2 - 1) × π
    0.0989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311014604734924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58502192} λ = 0.58502192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311014604734924))-π/2
    2×atan(1.36480915371652)-π/2
    2×0.938457400088227-π/2
    1.87691480017645-1.57079632675     		φ = 0.30611847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58502192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30611847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.539296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38870 KachelY 29524 0.58502192 0.30611847 33.519287 17.539296
    Oben rechts KachelX + 1 38871 KachelY 29524 0.58511780 0.30611847 33.524780 17.539296
    Unten links KachelX 38870 KachelY + 1 29525 0.58502192 0.30602706 33.519287 17.534059
    Unten rechts KachelX + 1 38871 KachelY + 1 29525 0.58511780 0.30602706 33.524780 17.534059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30611847-0.30602706) × R
    9.14099999999585e-05 × 6371000     		dl = 582.373109999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30611847-0.30602706) × R
    9.14099999999585e-05 × 6371000     		dr = 582.373109999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58502192-0.58511780) × cos(0.30611847) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953510487110727 × 6371000     		do = 582.453292247401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58502192-0.58511780) × cos(0.30602706) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953538030429665 × 6371000     		du = 582.470117124538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30611847)-sin(0.30602706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953510487110727-0.953538030429665)×R²
    abs(0.58511780-0.58502192)×2.75433189373953e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.75433189373953e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.75433189373953e-05×40589641000000     		ar = 339210.034649951m²