Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3887 / 849
↖ ↑ ↗
← N 71.938158°
E161.630859°		 ← 3 030.05 m → N 71.938158°
E161.718750°		 →
↑
3 032.28 m
↓
↑
3 032.28 m
↓
N 71.910888°
E161.630859°		 ← 3 034.47 m →
9 194 655 m²		 N 71.910888°
E161.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9490966796875 y=0.2073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9490966796875 × 212)
    floor (0.9490966796875 × 4096)
    floor (3887.5)     		tx = 3887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2073974609375 × 212)
    floor (0.2073974609375 × 4096)
    floor (849.5)     		ty = 849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3887 / 849 ti = "12/3887/849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3887/849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3887 ÷ 212
    3887 ÷ 4096     		x = 0.948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 849 ÷ 212
    849 ÷ 4096     		y = 0.207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.948974609375 × 2 - 1) × π
    0.89794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82099067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207275390625 × 2 - 1) × π
    0.58544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83924296462231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82099067} λ = 2.82099067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83924296462231))-π/2
    2×atan(6.291773362632)-π/2
    2×1.41317701786576-π/2
    2.82635403573151-1.57079632675     		φ = 1.25555771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82099067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.630859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25555771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.938158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3887 KachelY 849 2.82099067 1.25555771 161.630859 71.938158
    Oben rechts KachelX + 1 3888 KachelY 849 2.82252465 1.25555771 161.718750 71.938158
    Unten links KachelX 3887 KachelY + 1 850 2.82099067 1.25508176 161.630859 71.910888
    Unten rechts KachelX + 1 3888 KachelY + 1 850 2.82252465 1.25508176 161.718750 71.910888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25555771-1.25508176) × R
    0.000475950000000003 × 6371000     		dl = 3032.27745000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25555771-1.25508176) × R
    0.000475950000000003 × 6371000     		dr = 3032.27745000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82099067-2.82252465) × cos(1.25555771) × R
    0.00153398000000005 × 0.310043338389825 × 6371000     		do = 3030.04938530224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82099067-2.82252465) × cos(1.25508176) × R
    0.00153398000000005 × 0.310495799593839 × 6371000     		du = 3034.47128257705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25555771)-sin(1.25508176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310043338389825-0.310495799593839)×R²
    abs(2.82252465-2.82099067)×0.000452461204014654×R²
    0.00153398000000005×0.000452461204014654×6371000²
    0.00153398000000005×0.000452461204014654×40589641000000     		ar = 9194654.80670268m²