Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3887 / 4720
↖ ↑ ↗
← S 26.431228°
W  9.184570°		 ← 4 375.70 m → S 26.431228°
W  9.140625°		 →
↑
4 374.90 m
↓
↑
4 374.90 m
↓
S 26.470573°
W  9.184570°		 ← 4 374.21 m →
19 140 010 m²		 S 26.470573°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47454833984375 y=0.57623291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47454833984375 × 213)
    floor (0.47454833984375 × 8192)
    floor (3887.5)     		tx = 3887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57623291015625 × 213)
    floor (0.57623291015625 × 8192)
    floor (4720.5)     		ty = 4720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3887 / 4720 ti = "13/3887/4720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3887/4720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3887 ÷ 213
    3887 ÷ 8192     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4720 ÷ 213
    4720 ÷ 8192     		y = 0.576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576171875 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.478602005806641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478602005806641))-π/2
    2×atan(0.619649052348052)-π/2
    2×0.55474218586799-π/2
    1.10948437173598-1.57079632675     		φ = -0.46131196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46131196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.431228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3887 KachelY 4720 -0.16030099 -0.46131196 -9.184570 -26.431228
    Oben rechts KachelX + 1 3888 KachelY 4720 -0.15953400 -0.46131196 -9.140625 -26.431228
    Unten links KachelX 3887 KachelY + 1 4721 -0.16030099 -0.46199865 -9.184570 -26.470573
    Unten rechts KachelX + 1 3888 KachelY + 1 4721 -0.15953400 -0.46199865 -9.140625 -26.470573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46131196--0.46199865) × R
    0.00068668999999999 × 6371000     		dl = 4374.90198999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46131196--0.46199865) × R
    0.00068668999999999 × 6371000     		dr = 4374.90198999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.15953400) × cos(-0.46131196) × R
    0.000766989999999995 × 0.895469284374037 × 6371000     		do = 4375.70464949481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.15953400) × cos(-0.46199865) × R
    0.000766989999999995 × 0.895163411546397 × 6371000     		du = 4374.21000397495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46131196)-sin(-0.46199865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895469284374037-0.895163411546397)×R²
    abs(-0.15953400--0.16030099)×0.000305872827640052×R²
    0.000766989999999995×0.000305872827640052×6371000²
    0.000766989999999995×0.000305872827640052×40589641000000     		ar = 19140010.2670073m²