Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3887 / 2381
↖ ↑ ↗
← N 59.955010°
W  9.184570°		 ← 2 446.57 m → N 59.955010°
W  9.140625°		 →
↑
2 447.36 m
↓
↑
2 447.36 m
↓
N 59.933001°
W  9.184570°		 ← 2 448.19 m →
5 989 613 m²		 N 59.933001°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47454833984375 y=0.29071044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47454833984375 × 213)
    floor (0.47454833984375 × 8192)
    floor (3887.5)     		tx = 3887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29071044921875 × 213)
    floor (0.29071044921875 × 8192)
    floor (2381.5)     		ty = 2381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3887 / 2381 ti = "13/3887/2381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3887/2381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3887 ÷ 213
    3887 ÷ 8192     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2381 ÷ 213
    2381 ÷ 8192     		y = 0.2906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2906494140625 × 2 - 1) × π
    0.418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31538852557434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31538852557434))-π/2
    2×atan(3.72619842743298)-π/2
    2×1.30860432945802-π/2
    2.61720865891604-1.57079632675     		φ = 1.04641233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04641233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.955010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3887 KachelY 2381 -0.16030099 1.04641233 -9.184570 59.955010
    Oben rechts KachelX + 1 3888 KachelY 2381 -0.15953400 1.04641233 -9.140625 59.955010
    Unten links KachelX 3887 KachelY + 1 2382 -0.16030099 1.04602819 -9.184570 59.933001
    Unten rechts KachelX + 1 3888 KachelY + 1 2382 -0.15953400 1.04602819 -9.140625 59.933001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04641233-1.04602819) × R
    0.000384139999999977 × 6371000     		dl = 2447.35593999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04641233-1.04602819) × R
    0.000384139999999977 × 6371000     		dr = 2447.35593999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.15953400) × cos(1.04641233) × R
    0.000766989999999995 × 0.500679867290889 × 6371000     		do = 2446.56881195501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.15953400) × cos(1.04602819) × R
    0.000766989999999995 × 0.501012354420296 × 6371000     		du = 2448.19350808186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04641233)-sin(1.04602819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.500679867290889-0.501012354420296)×R²
    abs(-0.15953400--0.16030099)×0.000332487129406478×R²
    0.000766989999999995×0.000332487129406478×6371000²
    0.000766989999999995×0.000332487129406478×40589641000000     		ar = 5989612.89307078m²