Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38868 / 29102
↖ ↑ ↗
← N 19.735684°
E 33.508301°		 ← 574.91 m → N 19.735684°
E 33.513794°		 →
↑
574.98 m
↓
↑
574.98 m
↓
N 19.730513°
E 33.508301°		 ← 574.93 m →
330 569 m²		 N 19.730513°
E 33.513794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593086242675781 y=0.444068908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593086242675781 × 216)
    floor (0.593086242675781 × 65536)
    floor (38868.5)     		tx = 38868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444068908691406 × 216)
    floor (0.444068908691406 × 65536)
    floor (29102.5)     		ty = 29102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38868 / 29102 ti = "16/38868/29102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38868/29102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38868 ÷ 216
    38868 ÷ 65536     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29102 ÷ 216
    29102 ÷ 65536     		y = 0.444061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    0.11187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351473348014252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351473348014252))-π/2
    2×atan(1.42115986992832)-π/2
    2×0.957624492682151-π/2
    1.9152489853643-1.57079632675     		φ = 0.34445266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34445266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.735684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38868 KachelY 29102 0.58483018 0.34445266 33.508301 19.735684
    Oben rechts KachelX + 1 38869 KachelY 29102 0.58492605 0.34445266 33.513794 19.735684
    Unten links KachelX 38868 KachelY + 1 29103 0.58483018 0.34436241 33.508301 19.730513
    Unten rechts KachelX + 1 38869 KachelY + 1 29103 0.58492605 0.34436241 33.513794 19.730513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34445266-0.34436241) × R
    9.02500000000139e-05 × 6371000     		dl = 574.982750000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34445266-0.34436241) × R
    9.02500000000139e-05 × 6371000     		dr = 574.982750000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58492605) × cos(0.34445266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941260420202401 × 6371000     		do = 574.910353044675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58492605) × cos(0.34436241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941290892127885 × 6371000     		du = 574.928964924089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34445266)-sin(0.34436241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941260420202401-0.941290892127885)×R²
    abs(0.58492605-0.58483018)×3.04719254846653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04719254846653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04719254846653e-05×40589641000000     		ar = 330568.886776267m²