Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38868 / 28629
↖ ↑ ↗
← N 22.161971°
E 33.508301°		 ← 565.66 m → N 22.161971°
E 33.513794°		 →
↑
565.74 m
↓
↑
565.74 m
↓
N 22.156883°
E 33.508301°		 ← 565.68 m →
320 027 m²		 N 22.156883°
E 33.513794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593086242675781 y=0.436851501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593086242675781 × 216)
    floor (0.593086242675781 × 65536)
    floor (38868.5)     		tx = 38868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436851501464844 × 216)
    floor (0.436851501464844 × 65536)
    floor (28629.5)     		ty = 28629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38868 / 28629 ti = "16/38868/28629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38868/28629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38868 ÷ 216
    38868 ÷ 65536     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28629 ÷ 216
    28629 ÷ 65536     		y = 0.436843872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436843872070312 × 2 - 1) × π
    0.126312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.396821655054825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396821655054825))-π/2
    2×atan(1.4870906912922)-π/2
    2×0.978797841367672-π/2
    1.95759568273534-1.57079632675     		φ = 0.38679936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38679936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.161971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38868 KachelY 28629 0.58483018 0.38679936 33.508301 22.161971
    Oben rechts KachelX + 1 38869 KachelY 28629 0.58492605 0.38679936 33.513794 22.161971
    Unten links KachelX 38868 KachelY + 1 28630 0.58483018 0.38671056 33.508301 22.156883
    Unten rechts KachelX + 1 38869 KachelY + 1 28630 0.58492605 0.38671056 33.513794 22.156883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38679936-0.38671056) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dl = 565.7448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38679936-0.38671056) × R
    8.88e-05 × 6371000     		dr = 565.7448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58492605) × cos(0.38679936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926121166603967 × 6371000     		do = 565.663482099823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58492605) × cos(0.38671056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926154660636551 × 6371000     		du = 565.683939845294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38679936)-sin(0.38671056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926121166603967-0.926154660636551)×R²
    abs(0.58492605-0.58483018)×3.34940325844579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34940325844579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34940325844579e-05×40589641000000     		ar = 320026.960689658m²