Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38865 / 41812
↖ ↑ ↗
← S 44.418088°
E 33.491821°		 ← 436.30 m → S 44.418088°
E 33.497315°		 →
↑
436.29 m
↓
↑
436.29 m
↓
S 44.422011°
E 33.491821°		 ← 436.27 m →
190 346 m²		 S 44.422011°
E 33.497315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593040466308594 y=0.638008117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593040466308594 × 216)
    floor (0.593040466308594 × 65536)
    floor (38865.5)     		tx = 38865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638008117675781 × 216)
    floor (0.638008117675781 × 65536)
    floor (41812.5)     		ty = 41812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38865 / 41812 ti = "16/38865/41812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38865/41812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38865 ÷ 216
    38865 ÷ 65536     		x = 0.593032836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41812 ÷ 216
    41812 ÷ 65536     		y = 0.63800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593032836914062 × 2 - 1) × π
    0.186065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58454255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.2760009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.867082640327576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58454255} λ = 0.58454255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867082640327576))-π/2
    2×atan(0.420175566182804)-π/2
    2×0.397777222376895-π/2
    0.795554444753789-1.57079632675     		φ = -0.77524188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58454255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.491821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77524188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.418088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38865 KachelY 41812 0.58454255 -0.77524188 33.491821 -44.418088
    Oben rechts KachelX + 1 38866 KachelY 41812 0.58463843 -0.77524188 33.497315 -44.418088
    Unten links KachelX 38865 KachelY + 1 41813 0.58454255 -0.77531036 33.491821 -44.422011
    Unten rechts KachelX + 1 38866 KachelY + 1 41813 0.58463843 -0.77531036 33.497315 -44.422011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77524188--0.77531036) × R
    6.84799999999264e-05 × 6371000     		dl = 436.286079999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77524188--0.77531036) × R
    6.84799999999264e-05 × 6371000     		dr = 436.286079999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58454255-0.58463843) × cos(-0.77524188) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714251765834342 × 6371000     		do = 436.30174825274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58454255-0.58463843) × cos(-0.77531036) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714203835770567 × 6371000     		du = 436.272470102347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77524188)-sin(-0.77531036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714251765834342-0.714203835770567)×R²
    abs(0.58463843-0.58454255)×4.79300637747926e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79300637747926e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79300637747926e-05×40589641000000     		ar = 190345.992691804m²