Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38865 / 28974
↖ ↑ ↗
← N 20.396124°
E 33.491821°		 ← 572.55 m → N 20.396124°
E 33.497315°		 →
↑
572.56 m
↓
↑
572.56 m
↓
N 20.390974°
E 33.491821°		 ← 572.57 m →
327 828 m²		 N 20.390974°
E 33.497315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593040466308594 y=0.442115783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593040466308594 × 216)
    floor (0.593040466308594 × 65536)
    floor (38865.5)     		tx = 38865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442115783691406 × 216)
    floor (0.442115783691406 × 65536)
    floor (28974.5)     		ty = 28974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38865 / 28974 ti = "16/38865/28974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38865/28974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38865 ÷ 216
    38865 ÷ 65536     		x = 0.593032836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28974 ÷ 216
    28974 ÷ 65536     		y = 0.442108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593032836914062 × 2 - 1) × π
    0.186065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58454255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442108154296875 × 2 - 1) × π
    0.11578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363745194316986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58454255} λ = 0.58454255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363745194316986))-π/2
    2×atan(1.43870757658265)-π/2
    2×0.963387916266176-π/2
    1.92677583253235-1.57079632675     		φ = 0.35597951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58454255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.491821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35597951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.396124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38865 KachelY 28974 0.58454255 0.35597951 33.491821 20.396124
    Oben rechts KachelX + 1 38866 KachelY 28974 0.58463843 0.35597951 33.497315 20.396124
    Unten links KachelX 38865 KachelY + 1 28975 0.58454255 0.35588964 33.491821 20.390974
    Unten rechts KachelX + 1 38866 KachelY + 1 28975 0.58463843 0.35588964 33.497315 20.390974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35597951-0.35588964) × R
    8.98699999999919e-05 × 6371000     		dl = 572.561769999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35597951-0.35588964) × R
    8.98699999999919e-05 × 6371000     		dr = 572.561769999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58454255-0.58463843) × cos(0.35597951) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.937305570827478 × 6371000     		do = 572.554495152497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58454255-0.58463843) × cos(0.35588964) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.937336887513105 × 6371000     		du = 572.573624996261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35597951)-sin(0.35588964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937305570827478-0.937336887513105)×R²
    abs(0.58463843-0.58454255)×3.13166856276137e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13166856276137e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13166856276137e-05×40589641000000     		ar = 327828.291895053m²