Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38864 / 28689
↖ ↑ ↗
← N 21.856400°
E 33.486328°		 ← 566.88 m → N 21.856400°
E 33.491821°		 →
↑
566.89 m
↓
↑
566.89 m
↓
N 21.851302°
E 33.486328°		 ← 566.90 m →
321 368 m²		 N 21.851302°
E 33.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593025207519531 y=0.437767028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593025207519531 × 216)
    floor (0.593025207519531 × 65536)
    floor (38864.5)     		tx = 38864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437767028808594 × 216)
    floor (0.437767028808594 × 65536)
    floor (28689.5)     		ty = 28689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38864 / 28689 ti = "16/38864/28689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38864/28689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38864 ÷ 216
    38864 ÷ 65536     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28689 ÷ 216
    28689 ÷ 65536     		y = 0.437759399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437759399414062 × 2 - 1) × π
    0.124481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.391069227100418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391069227100418))-π/2
    2×atan(1.47856086635188)-π/2
    2×0.976131239167723-π/2
    1.95226247833545-1.57079632675     		φ = 0.38146615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38146615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.856400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38864 KachelY 28689 0.58444668 0.38146615 33.486328 21.856400
    Oben rechts KachelX + 1 38865 KachelY 28689 0.58454255 0.38146615 33.491821 21.856400
    Unten links KachelX 38864 KachelY + 1 28690 0.58444668 0.38137717 33.486328 21.851302
    Unten rechts KachelX + 1 38865 KachelY + 1 28690 0.58454255 0.38137717 33.491821 21.851302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38146615-0.38137717) × R
    8.89800000000163e-05 × 6371000     		dl = 566.891580000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38146615-0.38137717) × R
    8.89800000000163e-05 × 6371000     		dr = 566.891580000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58454255) × cos(0.38146615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928119812598483 × 6371000     		do = 566.884230629833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58454255) × cos(0.38137717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92815293454388 × 6371000     		du = 566.904461109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38146615)-sin(0.38137717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928119812598483-0.92815293454388)×R²
    abs(0.58454255-0.58444668)×3.31219453975073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31219453975073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31219453975073e-05×40589641000000     		ar = 321367.631635027m²