Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38864 / 28557
↖ ↑ ↗
← N 22.527780°
E 33.486328°		 ← 564.18 m → N 22.527780°
E 33.491821°		 →
↑
564.22 m
↓
↑
564.22 m
↓
N 22.522706°
E 33.486328°		 ← 564.20 m →
318 326 m²		 N 22.522706°
E 33.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593025207519531 y=0.435752868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593025207519531 × 216)
    floor (0.593025207519531 × 65536)
    floor (38864.5)     		tx = 38864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435752868652344 × 216)
    floor (0.435752868652344 × 65536)
    floor (28557.5)     		ty = 28557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38864 / 28557 ti = "16/38864/28557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38864/28557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38864 ÷ 216
    38864 ÷ 65536     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28557 ÷ 216
    28557 ÷ 65536     		y = 0.435745239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435745239257812 × 2 - 1) × π
    0.128509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.403724568600113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403724568600113))-π/2
    2×atan(1.4973914615286)-π/2
    2×0.981990128717862-π/2
    1.96398025743572-1.57079632675     		φ = 0.39318393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39318393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.527780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38864 KachelY 28557 0.58444668 0.39318393 33.486328 22.527780
    Oben rechts KachelX + 1 38865 KachelY 28557 0.58454255 0.39318393 33.491821 22.527780
    Unten links KachelX 38864 KachelY + 1 28558 0.58444668 0.39309537 33.486328 22.522706
    Unten rechts KachelX + 1 38865 KachelY + 1 28558 0.58454255 0.39309537 33.491821 22.522706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39318393-0.39309537) × R
    8.85600000000153e-05 × 6371000     		dl = 564.215760000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39318393-0.39309537) × R
    8.85600000000153e-05 × 6371000     		dr = 564.215760000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58454255) × cos(0.39318393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923693880514631 × 6371000     		do = 564.180925442166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58454255) × cos(0.39309537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923727807002857 × 6371000     		du = 564.201647326253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39318393)-sin(0.39309537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923693880514631-0.923727807002857)×R²
    abs(0.58454255-0.58444668)×3.39264882259771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39264882259771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39264882259771e-05×40589641000000     		ar = 318325.615640597m²