Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38862 / 42199
↖ ↑ ↗
← S 45.916766°
E 33.475342°		 ← 424.97 m → S 45.916766°
E 33.480835°		 →
↑
424.88 m
↓
↑
424.88 m
↓
S 45.920587°
E 33.475342°		 ← 424.94 m →
180 556 m²		 S 45.920587°
E 33.480835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592994689941406 y=0.643913269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592994689941406 × 216)
    floor (0.592994689941406 × 65536)
    floor (38862.5)     		tx = 38862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643913269042969 × 216)
    floor (0.643913269042969 × 65536)
    floor (42199.5)     		ty = 42199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38862 / 42199 ti = "16/38862/42199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38862/42199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38862 ÷ 216
    38862 ÷ 65536     		x = 0.592987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42199 ÷ 216
    42199 ÷ 65536     		y = 0.643905639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592987060546875 × 2 - 1) × π
    0.18597412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58425493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643905639648438 × 2 - 1) × π
    -0.287811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904185800633499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58425493} λ = 0.58425493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904185800633499))-π/2
    2×atan(0.404871396975568)-π/2
    2×0.384698790277525-π/2
    0.76939758055505-1.57079632675     		φ = -0.80139875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58425493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80139875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38862 KachelY 42199 0.58425493 -0.80139875 33.475342 -45.916766
    Oben rechts KachelX + 1 38863 KachelY 42199 0.58435081 -0.80139875 33.480835 -45.916766
    Unten links KachelX 38862 KachelY + 1 42200 0.58425493 -0.80146544 33.475342 -45.920587
    Unten rechts KachelX + 1 38863 KachelY + 1 42200 0.58435081 -0.80146544 33.480835 -45.920587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80139875--0.80146544) × R
    6.66899999999249e-05 × 6371000     		dl = 424.881989999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80139875--0.80146544) × R
    6.66899999999249e-05 × 6371000     		dr = 424.881989999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58425493-0.58435081) × cos(-0.80139875) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.695702626288441 × 6371000     		do = 424.970978908394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58425493-0.58435081) × cos(-0.80146544) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.695654719319868 × 6371000     		du = 424.941714865739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80139875)-sin(-0.80146544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695702626288441-0.695654719319868)×R²
    abs(0.58435081-0.58425493)×4.79069685730416e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79069685730416e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79069685730416e-05×40589641000000     		ar = 180556.298395221m²