Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38862 / 42190
↖ ↑ ↗
← S 45.882361°
E 33.475342°		 ← 425.23 m → S 45.882361°
E 33.480835°		 →
↑
425.20 m
↓
↑
425.20 m
↓
S 45.886184°
E 33.475342°		 ← 425.21 m →
180 804 m²		 S 45.886184°
E 33.480835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592994689941406 y=0.643775939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592994689941406 × 216)
    floor (0.592994689941406 × 65536)
    floor (38862.5)     		tx = 38862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643775939941406 × 216)
    floor (0.643775939941406 × 65536)
    floor (42190.5)     		ty = 42190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38862 / 42190 ti = "16/38862/42190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38862/42190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38862 ÷ 216
    38862 ÷ 65536     		x = 0.592987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42190 ÷ 216
    42190 ÷ 65536     		y = 0.643768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592987060546875 × 2 - 1) × π
    0.18597412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58425493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.28753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.903322936440338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58425493} λ = 0.58425493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903322936440338))-π/2
    2×atan(0.405220896770598)-π/2
    2×0.384999031741705-π/2
    0.769998063483409-1.57079632675     		φ = -0.80079826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58425493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80079826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.882361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38862 KachelY 42190 0.58425493 -0.80079826 33.475342 -45.882361
    Oben rechts KachelX + 1 38863 KachelY 42190 0.58435081 -0.80079826 33.480835 -45.882361
    Unten links KachelX 38862 KachelY + 1 42191 0.58425493 -0.80086500 33.475342 -45.886184
    Unten rechts KachelX + 1 38863 KachelY + 1 42191 0.58435081 -0.80086500 33.480835 -45.886184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80079826--0.80086500) × R
    6.67400000000651e-05 × 6371000     		dl = 425.200540000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80079826--0.80086500) × R
    6.67400000000651e-05 × 6371000     		dr = 425.200540000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58425493-0.58435081) × cos(-0.80079826) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.696133850757486 × 6371000     		do = 425.234393013523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58425493-0.58435081) × cos(-0.80086500) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.696085935759245 × 6371000     		du = 425.205124065933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80079826)-sin(-0.80086500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696133850757486-0.696085935759245)×R²
    abs(0.58435081-0.58425493)×4.7914998240417e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7914998240417e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7914998240417e-05×40589641000000     		ar = 180803.671016804m²