Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38861 / 28606
↖ ↑ ↗
← N 22.278930°
E 33.469849°		 ← 565.19 m → N 22.278930°
E 33.475342°		 →
↑
565.24 m
↓
↑
565.24 m
↓
N 22.273847°
E 33.469849°		 ← 565.21 m →
319 472 m²		 N 22.273847°
E 33.475342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592979431152344 y=0.436500549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592979431152344 × 216)
    floor (0.592979431152344 × 65536)
    floor (38861.5)     		tx = 38861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436500549316406 × 216)
    floor (0.436500549316406 × 65536)
    floor (28606.5)     		ty = 28606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38861 / 28606 ti = "16/38861/28606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38861/28606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38861 ÷ 216
    38861 ÷ 65536     		x = 0.592971801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28606 ÷ 216
    28606 ÷ 65536     		y = 0.436492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592971801757812 × 2 - 1) × π
    0.185943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58415906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436492919921875 × 2 - 1) × π
    0.12701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399026752437347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58415906} λ = 0.58415906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399026752437347))-π/2
    2×atan(1.49037348919748)-π/2
    2×0.97981850977497-π/2
    1.95963701954994-1.57079632675     		φ = 0.38884069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58415906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.469849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38884069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.278930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38861 KachelY 28606 0.58415906 0.38884069 33.469849 22.278930
    Oben rechts KachelX + 1 38862 KachelY 28606 0.58425493 0.38884069 33.475342 22.278930
    Unten links KachelX 38861 KachelY + 1 28607 0.58415906 0.38875197 33.469849 22.273847
    Unten rechts KachelX + 1 38862 KachelY + 1 28607 0.58425493 0.38875197 33.475342 22.273847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38884069-0.38875197) × R
    8.87199999999866e-05 × 6371000     		dl = 565.235119999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38884069-0.38875197) × R
    8.87199999999866e-05 × 6371000     		dr = 565.235119999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58415906-0.58425493) × cos(0.38884069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925349194451451 × 6371000     		do = 565.191970950286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58415906-0.58425493) × cos(0.38875197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925382825972549 × 6371000     		du = 565.212512672059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38884069)-sin(0.38875197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925349194451451-0.925382825972549)×R²
    abs(0.58425493-0.58415906)×3.36315210972549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36315210972549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36315210972549e-05×40589641000000     		ar = 319472.157183974m²