Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3886 / 2186
↖ ↑ ↗
← N 63.975961°
W  9.228515°		 ← 2 143.94 m → N 63.975961°
W  9.184570°		 →
↑
2 144.67 m
↓
↑
2 144.67 m
↓
N 63.956673°
W  9.228515°		 ← 2 145.42 m →
4 599 629 m²		 N 63.956673°
W  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47442626953125 y=0.26690673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47442626953125 × 213)
    floor (0.47442626953125 × 8192)
    floor (3886.5)     		tx = 3886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26690673828125 × 213)
    floor (0.26690673828125 × 8192)
    floor (2186.5)     		ty = 2186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3886 / 2186 ti = "13/3886/2186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3886/2186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3886 ÷ 213
    3886 ÷ 8192     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2186 ÷ 213
    2186 ÷ 8192     		y = 0.266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266845703125 × 2 - 1) × π
    0.46630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46495165238892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46495165238892))-π/2
    2×atan(4.32733401898096)-π/2
    2×1.34369374338448-π/2
    2.68738748676896-1.57079632675     		φ = 1.11659116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11659116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.975961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3886 KachelY 2186 -0.16106798 1.11659116 -9.228515 63.975961
    Oben rechts KachelX + 1 3887 KachelY 2186 -0.16030099 1.11659116 -9.184570 63.975961
    Unten links KachelX 3886 KachelY + 1 2187 -0.16106798 1.11625453 -9.228515 63.956673
    Unten rechts KachelX + 1 3887 KachelY + 1 2187 -0.16030099 1.11625453 -9.184570 63.956673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11659116-1.11625453) × R
    0.00033663000000006 × 6371000     		dl = 2144.66973000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11659116-1.11625453) × R
    0.00033663000000006 × 6371000     		dr = 2144.66973000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.16030099) × cos(1.11659116) × R
    0.000766989999999995 × 0.438748207371673 × 6371000     		do = 2143.94017132119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.16030099) × cos(1.11625453) × R
    0.000766989999999995 × 0.43905068160553 × 6371000     		du = 2145.41820963534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11659116)-sin(1.11625453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438748207371673-0.43905068160553)×R²
    abs(-0.16030099--0.16106798)×0.000302474233857042×R²
    0.000766989999999995×0.000302474233857042×6371000²
    0.000766989999999995×0.000302474233857042×40589641000000     		ar = 4599628.58381466m²