Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38858 / 42234
↖ ↑ ↗
← S 46.050361°
E 33.453369°		 ← 423.90 m → S 46.050361°
E 33.458862°		 →
↑
423.93 m
↓
↑
423.93 m
↓
S 46.054173°
E 33.453369°		 ← 423.87 m →
179 697 m²		 S 46.054173°
E 33.458862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592933654785156 y=0.644447326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592933654785156 × 216)
    floor (0.592933654785156 × 65536)
    floor (38858.5)     		tx = 38858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644447326660156 × 216)
    floor (0.644447326660156 × 65536)
    floor (42234.5)     		ty = 42234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38858 / 42234 ti = "16/38858/42234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38858/42234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38858 ÷ 216
    38858 ÷ 65536     		x = 0.592926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42234 ÷ 216
    42234 ÷ 65536     		y = 0.644439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592926025390625 × 2 - 1) × π
    0.18585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58387144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.28887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.907541383606903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58387144} λ = 0.58387144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907541383606903))-π/2
    2×atan(0.40351509427524)-π/2
    2×0.383532953028243-π/2
    0.767065906056486-1.57079632675     		φ = -0.80373042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58387144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.453369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80373042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.050361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38858 KachelY 42234 0.58387144 -0.80373042 33.453369 -46.050361
    Oben rechts KachelX + 1 38859 KachelY 42234 0.58396731 -0.80373042 33.458862 -46.050361
    Unten links KachelX 38858 KachelY + 1 42235 0.58387144 -0.80379696 33.453369 -46.054173
    Unten rechts KachelX + 1 38859 KachelY + 1 42235 0.58396731 -0.80379696 33.458862 -46.054173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80373042--0.80379696) × R
    6.65400000000593e-05 × 6371000     		dl = 423.926340000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80373042--0.80379696) × R
    6.65400000000593e-05 × 6371000     		dr = 423.926340000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58387144-0.58396731) × cos(-0.80373042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.694025828353902 × 6371000     		do = 423.902488022673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58387144-0.58396731) × cos(-0.80379696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693977921337716 × 6371000     		du = 423.873227003089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80373042)-sin(-0.80379696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694025828353902-0.693977921337716)×R²
    abs(0.58396731-0.58387144)×4.79070161859552e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79070161859552e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79070161859552e-05×40589641000000     		ar = 179697.228072345m²