Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38858 / 28731
↖ ↑ ↗
← N 21.642111°
E 33.453369°		 ← 567.73 m → N 21.642111°
E 33.458862°		 →
↑
567.78 m
↓
↑
567.78 m
↓
N 21.637005°
E 33.453369°		 ← 567.75 m →
322 354 m²		 N 21.637005°
E 33.458862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592933654785156 y=0.438407897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592933654785156 × 216)
    floor (0.592933654785156 × 65536)
    floor (38858.5)     		tx = 38858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438407897949219 × 216)
    floor (0.438407897949219 × 65536)
    floor (28731.5)     		ty = 28731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38858 / 28731 ti = "16/38858/28731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38858/28731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38858 ÷ 216
    38858 ÷ 65536     		x = 0.592926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28731 ÷ 216
    28731 ÷ 65536     		y = 0.438400268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592926025390625 × 2 - 1) × π
    0.18585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58387144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    0.123199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.387042527532333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58387144} λ = 0.58387144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387042527532333))-π/2
    2×atan(1.47261911679858)-π/2
    2×0.974261212402538-π/2
    1.94852242480508-1.57079632675     		φ = 0.37772610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58387144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.453369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37772610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.642111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38858 KachelY 28731 0.58387144 0.37772610 33.453369 21.642111
    Oben rechts KachelX + 1 38859 KachelY 28731 0.58396731 0.37772610 33.458862 21.642111
    Unten links KachelX 38858 KachelY + 1 28732 0.58387144 0.37763698 33.453369 21.637005
    Unten rechts KachelX + 1 38859 KachelY + 1 28732 0.58396731 0.37763698 33.458862 21.637005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37772610-0.37763698) × R
    8.91199999999981e-05 × 6371000     		dl = 567.783519999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37772610-0.37763698) × R
    8.91199999999981e-05 × 6371000     		dr = 567.783519999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58387144-0.58396731) × cos(0.37772610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929505670019564 × 6371000     		do = 567.730695393593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58387144-0.58396731) × cos(0.37763698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929538534481356 × 6371000     		du = 567.750768604923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37772610)-sin(0.37763698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929505670019564-0.929538534481356)×R²
    abs(0.58396731-0.58387144)×3.28644617919593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28644617919593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28644617919593e-05×40589641000000     		ar = 322353.831475228m²