Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38857 / 42351
↖ ↑ ↗
← S 46.494611°
E 33.447876°		 ← 420.52 m → S 46.494611°
E 33.453369°		 →
↑
420.49 m
↓
↑
420.49 m
↓
S 46.498392°
E 33.447876°		 ← 420.49 m →
176 818 m²		 S 46.498392°
E 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592918395996094 y=0.646232604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592918395996094 × 216)
    floor (0.592918395996094 × 65536)
    floor (38857.5)     		tx = 38857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646232604980469 × 216)
    floor (0.646232604980469 × 65536)
    floor (42351.5)     		ty = 42351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38857 / 42351 ti = "16/38857/42351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38857/42351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38857 ÷ 216
    38857 ÷ 65536     		x = 0.592910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42351 ÷ 216
    42351 ÷ 65536     		y = 0.646224975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592910766601562 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646224975585938 × 2 - 1) × π
    -0.292449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.918758618117996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58377556} λ = 0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918758618117996))-π/2
    2×atan(0.399014062593546)-π/2
    2×0.379656142215613-π/2
    0.759312284431227-1.57079632675     		φ = -0.81148404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81148404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.494611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38857 KachelY 42351 0.58377556 -0.81148404 33.447876 -46.494611
    Oben rechts KachelX + 1 38858 KachelY 42351 0.58387144 -0.81148404 33.453369 -46.494611
    Unten links KachelX 38857 KachelY + 1 42352 0.58377556 -0.81155004 33.447876 -46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 38858 KachelY + 1 42352 0.58387144 -0.81155004 33.453369 -46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81148404--0.81155004) × R
    6.60000000000105e-05 × 6371000     		dl = 420.486000000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81148404--0.81155004) × R
    6.60000000000105e-05 × 6371000     		dr = 420.486000000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58377556-0.58387144) × cos(-0.81148404) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.688422802941219 × 6371000     		do = 420.524088042603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58377556-0.58387144) × cos(-0.81155004) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 420.494845400717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81148404)-sin(-0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688422802941219-0.688374931006971)×R²
    abs(0.58387144-0.58377556)×4.78719342486e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78719342486e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78719342486e-05×40589641000000     		ar = 176818.343687931m²