Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38857 / 42233
↖ ↑ ↗
← S 46.046548°
E 33.447876°		 ← 423.98 m → S 46.046548°
E 33.453369°		 →
↑
423.93 m
↓
↑
423.93 m
↓
S 46.050361°
E 33.447876°		 ← 423.95 m →
179 728 m²		 S 46.050361°
E 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592918395996094 y=0.644432067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592918395996094 × 216)
    floor (0.592918395996094 × 65536)
    floor (38857.5)     		tx = 38857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644432067871094 × 216)
    floor (0.644432067871094 × 65536)
    floor (42233.5)     		ty = 42233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38857 / 42233 ti = "16/38857/42233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38857/42233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38857 ÷ 216
    38857 ÷ 65536     		x = 0.592910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42233 ÷ 216
    42233 ÷ 65536     		y = 0.644424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592910766601562 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644424438476562 × 2 - 1) × π
    -0.288848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.907445509807663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58377556} λ = 0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907445509807663))-π/2
    2×atan(0.40355378265495)-π/2
    2×0.383566223622888-π/2
    0.767132447245776-1.57079632675     		φ = -0.80366388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80366388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.046548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38857 KachelY 42233 0.58377556 -0.80366388 33.447876 -46.046548
    Oben rechts KachelX + 1 38858 KachelY 42233 0.58387144 -0.80366388 33.453369 -46.046548
    Unten links KachelX 38857 KachelY + 1 42234 0.58377556 -0.80373042 33.447876 -46.050361
    Unten rechts KachelX + 1 38858 KachelY + 1 42234 0.58387144 -0.80373042 33.453369 -46.050361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80366388--0.80373042) × R
    6.65399999999483e-05 × 6371000     		dl = 423.926339999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80366388--0.80373042) × R
    6.65399999999483e-05 × 6371000     		dr = 423.926339999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58377556-0.58387144) × cos(-0.80366388) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.694073732297238 × 6371000     		do = 423.975966603105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58377556-0.58387144) × cos(-0.80373042) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.694025828353902 × 6371000     		du = 423.94670440842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80366388)-sin(-0.80373042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694073732297238-0.694025828353902)×R²
    abs(0.58387144-0.58377556)×4.79039433367578e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79039433367578e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79039433367578e-05×40589641000000     		ar = 179728.377328437m²