Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38857 / 29095
↖ ↑ ↗
← N 19.771873°
E 33.447876°		 ← 574.84 m → N 19.771873°
E 33.453369°		 →
↑
574.79 m
↓
↑
574.79 m
↓
N 19.766704°
E 33.447876°		 ← 574.86 m →
330 419 m²		 N 19.766704°
E 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592918395996094 y=0.443962097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592918395996094 × 216)
    floor (0.592918395996094 × 65536)
    floor (38857.5)     		tx = 38857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443962097167969 × 216)
    floor (0.443962097167969 × 65536)
    floor (29095.5)     		ty = 29095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38857 / 29095 ti = "16/38857/29095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38857/29095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38857 ÷ 216
    38857 ÷ 65536     		x = 0.592910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29095 ÷ 216
    29095 ÷ 65536     		y = 0.443954467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592910766601562 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    0.112091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.352144464608933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58377556} λ = 0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352144464608933))-π/2
    2×atan(1.42211395401574)-π/2
    2×0.957940304618684-π/2
    1.91588060923737-1.57079632675     		φ = 0.34508428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34508428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.771873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38857 KachelY 29095 0.58377556 0.34508428 33.447876 19.771873
    Oben rechts KachelX + 1 38858 KachelY 29095 0.58387144 0.34508428 33.453369 19.771873
    Unten links KachelX 38857 KachelY + 1 29096 0.58377556 0.34499406 33.447876 19.766704
    Unten rechts KachelX + 1 38858 KachelY + 1 29096 0.58387144 0.34499406 33.453369 19.766704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34508428-0.34499406) × R
    9.02200000000297e-05 × 6371000     		dl = 574.791620000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34508428-0.34499406) × R
    9.02200000000297e-05 × 6371000     		dr = 574.791620000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58377556-0.58387144) × cos(0.34508428) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941046946048303 × 6371000     		do = 574.839919743375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58377556-0.58387144) × cos(0.34499406) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941077461478174 × 6371000     		du = 574.858560138874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34508428)-sin(0.34499406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941046946048303-0.941077461478174)×R²
    abs(0.58387144-0.58377556)×3.05154298705368e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.05154298705368e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.05154298705368e-05×40589641000000     		ar = 330418.526105861m²