Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38856 / 41801
↖ ↑ ↗
← S 44.374914°
E 33.442383°		 ← 436.58 m → S 44.374914°
E 33.447876°		 →
↑
436.54 m
↓
↑
436.54 m
↓
S 44.378840°
E 33.442383°		 ← 436.55 m →
190 578 m²		 S 44.378840°
E 33.447876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592903137207031 y=0.637840270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592903137207031 × 216)
    floor (0.592903137207031 × 65536)
    floor (38856.5)     		tx = 38856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637840270996094 × 216)
    floor (0.637840270996094 × 65536)
    floor (41801.5)     		ty = 41801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38856 / 41801 ti = "16/38856/41801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38856/41801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38856 ÷ 216
    38856 ÷ 65536     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41801 ÷ 216
    41801 ÷ 65536     		y = 0.637832641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637832641601562 × 2 - 1) × π
    -0.275665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.866028028535934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866028028535934))-π/2
    2×atan(0.420618922032521)-π/2
    2×0.398153990538995-π/2
    0.796307981077991-1.57079632675     		φ = -0.77448835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77448835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.374914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38856 KachelY 41801 0.58367969 -0.77448835 33.442383 -44.374914
    Oben rechts KachelX + 1 38857 KachelY 41801 0.58377556 -0.77448835 33.447876 -44.374914
    Unten links KachelX 38856 KachelY + 1 41802 0.58367969 -0.77455687 33.442383 -44.378840
    Unten rechts KachelX + 1 38857 KachelY + 1 41802 0.58377556 -0.77455687 33.447876 -44.378840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77448835--0.77455687) × R
    6.85199999999053e-05 × 6371000     		dl = 436.540919999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77448835--0.77455687) × R
    6.85199999999053e-05 × 6371000     		dr = 436.540919999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58377556) × cos(-0.77448835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714778950257651 × 6371000     		do = 436.578241070802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58377556) × cos(-0.77455687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714731029086897 × 6371000     		du = 436.548971405781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77448835)-sin(-0.77455687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714778950257651-0.714731029086897)×R²
    abs(0.58377556-0.58367969)×4.79211707538063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79211707538063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79211707538063e-05×40589641000000     		ar = 190577.878379807m²