Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38856 / 28584
↖ ↑ ↗
← N 22.390714°
E 33.442383°		 ← 564.74 m → N 22.390714°
E 33.447876°		 →
↑
564.79 m
↓
↑
564.79 m
↓
N 22.385635°
E 33.442383°		 ← 564.76 m →
318 964 m²		 N 22.385635°
E 33.447876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592903137207031 y=0.436164855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592903137207031 × 216)
    floor (0.592903137207031 × 65536)
    floor (38856.5)     		tx = 38856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436164855957031 × 216)
    floor (0.436164855957031 × 65536)
    floor (28584.5)     		ty = 28584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38856 / 28584 ti = "16/38856/28584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38856/28584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38856 ÷ 216
    38856 ÷ 65536     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28584 ÷ 216
    28584 ÷ 65536     		y = 0.4361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40113597602063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40113597602063))-π/2
    2×atan(1.49352033764562)-π/2
    2×0.980794003252622-π/2
    1.96158800650524-1.57079632675     		φ = 0.39079168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39079168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.390714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38856 KachelY 28584 0.58367969 0.39079168 33.442383 22.390714
    Oben rechts KachelX + 1 38857 KachelY 28584 0.58377556 0.39079168 33.447876 22.390714
    Unten links KachelX 38856 KachelY + 1 28585 0.58367969 0.39070303 33.442383 22.385635
    Unten rechts KachelX + 1 38857 KachelY + 1 28585 0.58377556 0.39070303 33.447876 22.385635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39079168-0.39070303) × R
    8.86499999999679e-05 × 6371000     		dl = 564.789149999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39079168-0.39070303) × R
    8.86499999999679e-05 × 6371000     		dr = 564.789149999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58377556) × cos(0.39079168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924607782477568 × 6371000     		do = 564.739125584106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58377556) × cos(0.39070303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924641547449158 × 6371000     		du = 564.759748815808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39079168)-sin(0.39070303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924607782477568-0.924641547449158)×R²
    abs(0.58377556-0.58367969)×3.37649715906885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37649715906885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37649715906885e-05×40589641000000     		ar = 318964.354807897m²