Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38855 / 41803
↖ ↑ ↗
← S 44.382766°
E 33.436890°		 ← 436.52 m → S 44.382766°
E 33.442383°		 →
↑
436.54 m
↓
↑
436.54 m
↓
S 44.386691°
E 33.436890°		 ← 436.49 m →
190 552 m²		 S 44.386691°
E 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592887878417969 y=0.637870788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592887878417969 × 216)
    floor (0.592887878417969 × 65536)
    floor (38855.5)     		tx = 38855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637870788574219 × 216)
    floor (0.637870788574219 × 65536)
    floor (41803.5)     		ty = 41803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38855 / 41803 ti = "16/38855/41803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38855/41803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38855 ÷ 216
    38855 ÷ 65536     		x = 0.592880249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41803 ÷ 216
    41803 ÷ 65536     		y = 0.637863159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592880249023438 × 2 - 1) × π
    0.185760498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58358382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637863159179688 × 2 - 1) × π
    -0.275726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866219776134415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58358382} λ = 0.58358382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866219776134415))-π/2
    2×atan(0.42053827709633)-π/2
    2×0.398085466559938-π/2
    0.796170933119876-1.57079632675     		φ = -0.77462539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58358382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.436890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77462539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.382766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38855 KachelY 41803 0.58358382 -0.77462539 33.436890 -44.382766
    Oben rechts KachelX + 1 38856 KachelY 41803 0.58367969 -0.77462539 33.442383 -44.382766
    Unten links KachelX 38855 KachelY + 1 41804 0.58358382 -0.77469391 33.436890 -44.386691
    Unten rechts KachelX + 1 38856 KachelY + 1 41804 0.58367969 -0.77469391 33.442383 -44.386691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77462539--0.77469391) × R
    6.85200000000163e-05 × 6371000     		dl = 436.540920000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77462539--0.77469391) × R
    6.85200000000163e-05 × 6371000     		dr = 436.540920000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58358382-0.58367969) × cos(-0.77462539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714683104560488 × 6371000     		do = 436.519699691168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58358382-0.58367969) × cos(-0.77469391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714635176678648 × 6371000     		du = 436.490425927098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77462539)-sin(-0.77469391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714683104560488-0.714635176678648)×R²
    abs(0.58367969-0.58358382)×4.79278818396045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79278818396045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79278818396045e-05×40589641000000     		ar = 190552.321778023m²