Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38852 / 42181
↖ ↑ ↗
← S 45.847934°
E 33.420410°		 ← 425.50 m → S 45.847934°
E 33.425903°		 →
↑
425.46 m
↓
↑
425.46 m
↓
S 45.851761°
E 33.420410°		 ← 425.47 m →
181 024 m²		 S 45.851761°
E 33.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592842102050781 y=0.643638610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592842102050781 × 216)
    floor (0.592842102050781 × 65536)
    floor (38852.5)     		tx = 38852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643638610839844 × 216)
    floor (0.643638610839844 × 65536)
    floor (42181.5)     		ty = 42181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38852 / 42181 ti = "16/38852/42181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38852/42181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38852 ÷ 216
    38852 ÷ 65536     		x = 0.59283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42181 ÷ 216
    42181 ÷ 65536     		y = 0.643630981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643630981445312 × 2 - 1) × π
    -0.287261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.902460072247177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58329619} λ = 0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902460072247177))-π/2
    2×atan(0.405570698266632)-π/2
    2×0.385299459251235-π/2
    0.77059891850247-1.57079632675     		φ = -0.80019741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80019741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.847934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38852 KachelY 42181 0.58329619 -0.80019741 33.420410 -45.847934
    Oben rechts KachelX + 1 38853 KachelY 42181 0.58339207 -0.80019741 33.425903 -45.847934
    Unten links KachelX 38852 KachelY + 1 42182 0.58329619 -0.80026419 33.420410 -45.851761
    Unten rechts KachelX + 1 38853 KachelY + 1 42182 0.58339207 -0.80026419 33.425903 -45.851761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80019741--0.80026419) × R
    6.6780000000044e-05 × 6371000     		dl = 425.455380000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80019741--0.80026419) × R
    6.6780000000044e-05 × 6371000     		dr = 425.455380000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58329619-0.58339207) × cos(-0.80019741) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.696565082506604 × 6371000     		do = 425.497811565695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58329619-0.58339207) × cos(-0.80026419) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.696517166729921 × 6371000     		du = 425.468542142592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80019741)-sin(-0.80026419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696565082506604-0.696517166729921)×R²
    abs(0.58339207-0.58329619)×4.79157766832827e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79157766832827e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79157766832827e-05×40589641000000     		ar = 181024.106759184m²