Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38852 / 41779
↖ ↑ ↗
← S 44.288469°
E 33.420410°		 ← 437.27 m → S 44.288469°
E 33.425903°		 →
↑
437.18 m
↓
↑
437.18 m
↓
S 44.292401°
E 33.420410°		 ← 437.24 m →
191 157 m²		 S 44.292401°
E 33.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592842102050781 y=0.637504577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592842102050781 × 216)
    floor (0.592842102050781 × 65536)
    floor (38852.5)     		tx = 38852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637504577636719 × 216)
    floor (0.637504577636719 × 65536)
    floor (41779.5)     		ty = 41779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38852 / 41779 ti = "16/38852/41779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38852/41779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38852 ÷ 216
    38852 ÷ 65536     		x = 0.59283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41779 ÷ 216
    41779 ÷ 65536     		y = 0.637496948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637496948242188 × 2 - 1) × π
    -0.274993896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.863918804952652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58329619} λ = 0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863918804952652))-π/2
    2×atan(0.421507037670415)-π/2
    2×0.398908360809534-π/2
    0.797816721619067-1.57079632675     		φ = -0.77297961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77297961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.288469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38852 KachelY 41779 0.58329619 -0.77297961 33.420410 -44.288469
    Oben rechts KachelX + 1 38853 KachelY 41779 0.58339207 -0.77297961 33.425903 -44.288469
    Unten links KachelX 38852 KachelY + 1 41780 0.58329619 -0.77304823 33.420410 -44.292401
    Unten rechts KachelX + 1 38853 KachelY + 1 41780 0.58339207 -0.77304823 33.425903 -44.292401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77297961--0.77304823) × R
    6.86199999999637e-05 × 6371000     		dl = 437.178019999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77297961--0.77304823) × R
    6.86199999999637e-05 × 6371000     		dr = 437.178019999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58329619-0.58339207) × cos(-0.77297961) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.715833274331447 × 6371000     		do = 437.26781505883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58329619-0.58339207) × cos(-0.77304823) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.715785357273734 × 6371000     		du = 437.238544853209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77297961)-sin(-0.77304823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715833274331447-0.715785357273734)×R²
    abs(0.58339207-0.58329619)×4.79170577133425e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79170577133425e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79170577133425e-05×40589641000000     		ar = 191157.479526662m²