Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38852 / 29516
↖ ↑ ↗
← N 17.581194°
E 33.420410°		 ← 582.32 m → N 17.581194°
E 33.425903°		 →
↑
582.25 m
↓
↑
582.25 m
↓
N 17.575958°
E 33.420410°		 ← 582.34 m →
339 057 m²		 N 17.575958°
E 33.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592842102050781 y=0.450386047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592842102050781 × 216)
    floor (0.592842102050781 × 65536)
    floor (38852.5)     		tx = 38852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450386047363281 × 216)
    floor (0.450386047363281 × 65536)
    floor (29516.5)     		ty = 29516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38852 / 29516 ti = "16/38852/29516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38852/29516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38852 ÷ 216
    38852 ÷ 65536     		x = 0.59283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29516 ÷ 216
    29516 ÷ 65536     		y = 0.45037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45037841796875 × 2 - 1) × π
    0.0992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311781595128845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58329619} λ = 0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311781595128845))-π/2
    2×atan(1.36585635077066)-π/2
    2×0.938823024490445-π/2
    1.87764604898089-1.57079632675     		φ = 0.30684972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30684972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.581194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38852 KachelY 29516 0.58329619 0.30684972 33.420410 17.581194
    Oben rechts KachelX + 1 38853 KachelY 29516 0.58339207 0.30684972 33.425903 17.581194
    Unten links KachelX 38852 KachelY + 1 29517 0.58329619 0.30675833 33.420410 17.575958
    Unten rechts KachelX + 1 38853 KachelY + 1 29517 0.58339207 0.30675833 33.425903 17.575958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30684972-0.30675833) × R
    9.1389999999969e-05 × 6371000     		dl = 582.245689999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30684972-0.30675833) × R
    9.1389999999969e-05 × 6371000     		dr = 582.245689999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58329619-0.58339207) × cos(0.30684972) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953289862816349 × 6371000     		do = 582.318523570656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58329619-0.58339207) × cos(0.30675833) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953317463825477 × 6371000     		du = 582.335383687932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30684972)-sin(0.30675833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953289862816349-0.953317463825477)×R²
    abs(0.58339207-0.58329619)×2.7601009128464e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.7601009128464e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.7601009128464e-05×40589641000000     		ar = 339057.359157306m²