Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38851 / 28643
↖ ↑ ↗
← N 22.090730°
E 33.414917°		 ← 565.95 m → N 22.090730°
E 33.420410°		 →
↑
566 m
↓
↑
566 m
↓
N 22.085640°
E 33.414917°		 ← 565.97 m →
320 333 m²		 N 22.085640°
E 33.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592826843261719 y=0.437065124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592826843261719 × 216)
    floor (0.592826843261719 × 65536)
    floor (38851.5)     		tx = 38851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437065124511719 × 216)
    floor (0.437065124511719 × 65536)
    floor (28643.5)     		ty = 28643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38851 / 28643 ti = "16/38851/28643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38851/28643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38851 ÷ 216
    38851 ÷ 65536     		x = 0.592819213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28643 ÷ 216
    28643 ÷ 65536     		y = 0.437057495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592819213867188 × 2 - 1) × π
    0.185638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58320032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437057495117188 × 2 - 1) × π
    0.125885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.395479421865463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58320032} λ = 0.58320032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395479421865463))-π/2
    2×atan(1.48509600777544)-π/2
    2×0.978176148867085-π/2
    1.95635229773417-1.57079632675     		φ = 0.38555597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58320032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.414917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38555597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.090730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38851 KachelY 28643 0.58320032 0.38555597 33.414917 22.090730
    Oben rechts KachelX + 1 38852 KachelY 28643 0.58329619 0.38555597 33.420410 22.090730
    Unten links KachelX 38851 KachelY + 1 28644 0.58320032 0.38546713 33.414917 22.085640
    Unten rechts KachelX + 1 38852 KachelY + 1 28644 0.58329619 0.38546713 33.420410 22.085640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38555597-0.38546713) × R
    8.88400000000344e-05 × 6371000     		dl = 565.999640000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38555597-0.38546713) × R
    8.88400000000344e-05 × 6371000     		dr = 565.999640000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58320032-0.58329619) × cos(0.38555597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926589489832766 × 6371000     		do = 565.949528200381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58320032-0.58329619) × cos(0.38546713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926622896621473 × 6371000     		du = 565.969932658357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38555597)-sin(0.38546713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926589489832766-0.926622896621473)×R²
    abs(0.58329619-0.58320032)×3.34067887064471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34067887064471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34067887064471e-05×40589641000000     		ar = 320333.003888362m²