Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38850 / 41792
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
E 33.409424°		 ← 436.84 m → S 44.339565°
E 33.414917°		 →
↑
436.86 m
↓
↑
436.86 m
↓
S 44.343494°
E 33.409424°		 ← 436.81 m →
190 832 m²		 S 44.343494°
E 33.414917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592811584472656 y=0.637702941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592811584472656 × 216)
    floor (0.592811584472656 × 65536)
    floor (38850.5)     		tx = 38850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637702941894531 × 216)
    floor (0.637702941894531 × 65536)
    floor (41792.5)     		ty = 41792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38850 / 41792 ti = "16/38850/41792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38850/41792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38850 ÷ 216
    38850 ÷ 65536     		x = 0.592803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41792 ÷ 216
    41792 ÷ 65536     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592803955078125 × 2 - 1) × π
    0.18560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58310445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58310445} λ = 0.58310445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58310445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38850 KachelY 41792 0.58310445 -0.77387140 33.409424 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 38851 KachelY 41792 0.58320032 -0.77387140 33.414917 -44.339565
    Unten links KachelX 38850 KachelY + 1 41793 0.58310445 -0.77393997 33.409424 -44.343494
    Unten rechts KachelX + 1 38851 KachelY + 1 41793 0.58320032 -0.77393997 33.414917 -44.343494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77393997) × R
    6.85700000000455e-05 × 6371000     		dl = 436.85947000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77393997) × R
    6.85700000000455e-05 × 6371000     		dr = 436.85947000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58310445-0.58320032) × cos(-0.77387140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 436.841691060661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58310445-0.58320032) × cos(-0.77393997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715162352563955 × 6371000     		du = 436.812418510483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77393997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.715162352563955)×R²
    abs(0.58320032-0.58310445)×4.79258944201533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79258944201533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79258944201533e-05×40589641000000     		ar = 190832.035710296m²