Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38847 / 29503
↖ ↑ ↗
← N 17.649257°
E 33.392945°		 ← 582.04 m → N 17.649257°
E 33.398438°		 →
↑
582.05 m
↓
↑
582.05 m
↓
N 17.644022°
E 33.392945°		 ← 582.06 m →
338 783 m²		 N 17.644022°
E 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592765808105469 y=0.450187683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592765808105469 × 216)
    floor (0.592765808105469 × 65536)
    floor (38847.5)     		tx = 38847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450187683105469 × 216)
    floor (0.450187683105469 × 65536)
    floor (29503.5)     		ty = 29503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38847 / 29503 ti = "16/38847/29503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38847/29503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38847 ÷ 216
    38847 ÷ 65536     		x = 0.592758178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29503 ÷ 216
    29503 ÷ 65536     		y = 0.450180053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592758178710938 × 2 - 1) × π
    0.185516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58281683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450180053710938 × 2 - 1) × π
    0.099639892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.313027954518967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58281683} λ = 0.58281683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313027954518967))-π/2
    2×atan(1.36755975996851)-π/2
    2×0.939416983424966-π/2
    1.87883396684993-1.57079632675     		φ = 0.30803764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58281683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.392945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30803764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.649257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38847 KachelY 29503 0.58281683 0.30803764 33.392945 17.649257
    Oben rechts KachelX + 1 38848 KachelY 29503 0.58291270 0.30803764 33.398438 17.649257
    Unten links KachelX 38847 KachelY + 1 29504 0.58281683 0.30794628 33.392945 17.644022
    Unten rechts KachelX + 1 38848 KachelY + 1 29504 0.58291270 0.30794628 33.398438 17.644022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30803764-0.30794628) × R
    9.13599999999848e-05 × 6371000     		dl = 582.054559999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30803764-0.30794628) × R
    9.13599999999848e-05 × 6371000     		dr = 582.054559999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58281683-0.58291270) × cos(0.30803764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952930370717816 × 6371000     		do = 582.038216095996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58281683-0.58291270) × cos(0.30794628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952958066108848 × 6371000     		du = 582.055132102123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30803764)-sin(0.30794628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952930370717816-0.952958066108848)×R²
    abs(0.58291270-0.58281683)×2.76953910322009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76953910322009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76953910322009e-05×40589641000000     		ar = 338782.921027638m²