Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38846 / 29477
↖ ↑ ↗
← N 17.785305°
E 33.387451°		 ← 581.66 m → N 17.785305°
E 33.392945°		 →
↑
581.67 m
↓
↑
581.67 m
↓
N 17.780074°
E 33.387451°		 ← 581.67 m →
338 339 m²		 N 17.780074°
E 33.392945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592750549316406 y=0.449790954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592750549316406 × 216)
    floor (0.592750549316406 × 65536)
    floor (38846.5)     		tx = 38846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449790954589844 × 216)
    floor (0.449790954589844 × 65536)
    floor (29477.5)     		ty = 29477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38846 / 29477 ti = "16/38846/29477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38846/29477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38846 ÷ 216
    38846 ÷ 65536     		x = 0.592742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29477 ÷ 216
    29477 ÷ 65536     		y = 0.449783325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592742919921875 × 2 - 1) × π
    0.18548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58272095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449783325195312 × 2 - 1) × π
    0.100433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31552067329921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58272095} λ = 0.58272095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31552067329921))-π/2
    2×atan(1.37097295416456)-π/2
    2×0.940604227328842-π/2
    1.88120845465768-1.57079632675     		φ = 0.31041213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58272095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31041213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.785305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38846 KachelY 29477 0.58272095 0.31041213 33.387451 17.785305
    Oben rechts KachelX + 1 38847 KachelY 29477 0.58281683 0.31041213 33.392945 17.785305
    Unten links KachelX 38846 KachelY + 1 29478 0.58272095 0.31032083 33.387451 17.780074
    Unten rechts KachelX + 1 38847 KachelY + 1 29478 0.58281683 0.31032083 33.392945 17.780074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31041213-0.31032083) × R
    9.13000000000164e-05 × 6371000     		dl = 581.672300000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31041213-0.31032083) × R
    9.13000000000164e-05 × 6371000     		dr = 581.672300000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58272095-0.58281683) × cos(0.31041213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952207765195966 × 6371000     		do = 581.657522637067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58272095-0.58281683) × cos(0.31032083) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952235648912316 × 6371000     		du = 581.674555446467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31041213)-sin(0.31032083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952207765195966-0.952235648912316)×R²
    abs(0.58281683-0.58272095)×2.78837163496526e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.78837163496526e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.78837163496526e-05×40589641000000     		ar = 338339.022996349m²