Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38844 / 41851
↖ ↑ ↗
← S 44.570904°
E 33.376465°		 ← 435.16 m → S 44.570904°
E 33.381958°		 →
↑
435.14 m
↓
↑
435.14 m
↓
S 44.574818°
E 33.376465°		 ← 435.13 m →
189 349 m²		 S 44.574818°
E 33.381958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592720031738281 y=0.638603210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592720031738281 × 216)
    floor (0.592720031738281 × 65536)
    floor (38844.5)     		tx = 38844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638603210449219 × 216)
    floor (0.638603210449219 × 65536)
    floor (41851.5)     		ty = 41851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38844 / 41851 ti = "16/38844/41851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38844/41851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38844 ÷ 216
    38844 ÷ 65536     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41851 ÷ 216
    41851 ÷ 65536     		y = 0.638595581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638595581054688 × 2 - 1) × π
    -0.277191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87082171849794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87082171849794))-π/2
    2×atan(0.41860743041365)-π/2
    2×0.396443648073366-π/2
    0.792887296146733-1.57079632675     		φ = -0.77790903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77790903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.570904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38844 KachelY 41851 0.58252920 -0.77790903 33.376465 -44.570904
    Oben rechts KachelX + 1 38845 KachelY 41851 0.58262508 -0.77790903 33.381958 -44.570904
    Unten links KachelX 38844 KachelY + 1 41852 0.58252920 -0.77797733 33.376465 -44.574818
    Unten rechts KachelX + 1 38845 KachelY + 1 41852 0.58262508 -0.77797733 33.381958 -44.574818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77790903--0.77797733) × R
    6.83000000000211e-05 × 6371000     		dl = 435.139300000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77790903--0.77797733) × R
    6.83000000000211e-05 × 6371000     		dr = 435.139300000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58262508) × cos(-0.77790903) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.712382518996158 × 6371000     		do = 435.15991605515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58262508) × cos(-0.77797733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.712334584983077 × 6371000     		du = 435.130635492317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77790903)-sin(-0.77797733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712382518996158-0.712334584983077)×R²
    abs(0.58262508-0.58252920)×4.79340130816741e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79340130816741e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79340130816741e-05×40589641000000     		ar = 189348.810772094m²