Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38844 / 29476
↖ ↑ ↗
← N 17.790535°
E 33.376465°		 ← 581.64 m → N 17.790535°
E 33.381958°		 →
↑
581.61 m
↓
↑
581.61 m
↓
N 17.785305°
E 33.376465°		 ← 581.66 m →
338 292 m²		 N 17.785305°
E 33.381958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592720031738281 y=0.449775695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592720031738281 × 216)
    floor (0.592720031738281 × 65536)
    floor (38844.5)     		tx = 38844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449775695800781 × 216)
    floor (0.449775695800781 × 65536)
    floor (29476.5)     		ty = 29476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38844 / 29476 ti = "16/38844/29476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38844/29476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38844 ÷ 216
    38844 ÷ 65536     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29476 ÷ 216
    29476 ÷ 65536     		y = 0.44976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44976806640625 × 2 - 1) × π
    0.1004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.31561654709845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31561654709845))-π/2
    2×atan(1.37110440085138)-π/2
    2×0.94064987254851-π/2
    1.88129974509702-1.57079632675     		φ = 0.31050342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31050342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.790535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38844 KachelY 29476 0.58252920 0.31050342 33.376465 17.790535
    Oben rechts KachelX + 1 38845 KachelY 29476 0.58262508 0.31050342 33.381958 17.790535
    Unten links KachelX 38844 KachelY + 1 29477 0.58252920 0.31041213 33.376465 17.785305
    Unten rechts KachelX + 1 38845 KachelY + 1 29477 0.58262508 0.31041213 33.381958 17.785305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31050342-0.31041213) × R
    9.12899999999661e-05 × 6371000     		dl = 581.608589999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31050342-0.31041213) × R
    9.12899999999661e-05 × 6371000     		dr = 581.608589999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58262508) × cos(0.31050342) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952179876597688 × 6371000     		do = 581.640486846207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58262508) × cos(0.31041213) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.952207765195966 × 6371000     		du = 581.657522637741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31050342)-sin(0.31041213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952179876597688-0.952207765195966)×R²
    abs(0.58262508-0.58252920)×2.78885982781807e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.78885982781807e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.78885982781807e-05×40589641000000     		ar = 338292.057757723m²