Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38844 / 28670
↖ ↑ ↗
← N 21.953235°
E 33.376465°		 ← 566.56 m → N 21.953235°
E 33.381958°		 →
↑
566.51 m
↓
↑
566.51 m
↓
N 21.948141°
E 33.376465°		 ← 566.58 m →
320 966 m²		 N 21.948141°
E 33.381958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592720031738281 y=0.437477111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592720031738281 × 216)
    floor (0.592720031738281 × 65536)
    floor (38844.5)     		tx = 38844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437477111816406 × 216)
    floor (0.437477111816406 × 65536)
    floor (28670.5)     		ty = 28670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38844 / 28670 ti = "16/38844/28670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38844/28670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38844 ÷ 216
    38844 ÷ 65536     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28670 ÷ 216
    28670 ÷ 65536     		y = 0.437469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437469482421875 × 2 - 1) × π
    0.12506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.39289082928598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39289082928598))-π/2
    2×atan(1.48125667065357)-π/2
    2×0.976976284738438-π/2
    1.95395256947688-1.57079632675     		φ = 0.38315624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38315624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.953235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38844 KachelY 28670 0.58252920 0.38315624 33.376465 21.953235
    Oben rechts KachelX + 1 38845 KachelY 28670 0.58262508 0.38315624 33.381958 21.953235
    Unten links KachelX 38844 KachelY + 1 28671 0.58252920 0.38306732 33.376465 21.948141
    Unten rechts KachelX + 1 38845 KachelY + 1 28671 0.58262508 0.38306732 33.381958 21.948141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38315624-0.38306732) × R
    8.89199999999923e-05 × 6371000     		dl = 566.509319999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38315624-0.38306732) × R
    8.89199999999923e-05 × 6371000     		dr = 566.509319999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58262508) × cos(0.38315624) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.92748929789238 × 6371000     		do = 566.558210302006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58262508) × cos(0.38306732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927522536941428 × 6371000     		du = 566.57851442431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38315624)-sin(0.38306732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92748929789238-0.927522536941428)×R²
    abs(0.58262508-0.58252920)×3.32390490477286e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.32390490477286e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.32390490477286e-05×40589641000000     		ar = 320966.25790736m²