Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38843 / 28683
↖ ↑ ↗
← N 21.886987°
E 33.370972°		 ← 566.76 m → N 21.886987°
E 33.376465°		 →
↑
566.83 m
↓
↑
566.83 m
↓
N 21.881890°
E 33.370972°		 ← 566.78 m →
321 263 m²		 N 21.881890°
E 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592704772949219 y=0.437675476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592704772949219 × 216)
    floor (0.592704772949219 × 65536)
    floor (38843.5)     		tx = 38843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437675476074219 × 216)
    floor (0.437675476074219 × 65536)
    floor (28683.5)     		ty = 28683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38843 / 28683 ti = "16/38843/28683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38843/28683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38843 ÷ 216
    38843 ÷ 65536     		x = 0.592697143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28683 ÷ 216
    28683 ÷ 65536     		y = 0.437667846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592697143554688 × 2 - 1) × π
    0.185394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58243333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437667846679688 × 2 - 1) × π
    0.124664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.391644469895859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58243333} λ = 0.58243333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391644469895859))-π/2
    2×atan(1.47941164251584)-π/2
    2×0.976398157690998-π/2
    1.952796315382-1.57079632675     		φ = 0.38199999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58243333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.370972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38199999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.886987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38843 KachelY 28683 0.58243333 0.38199999 33.370972 21.886987
    Oben rechts KachelX + 1 38844 KachelY 28683 0.58252920 0.38199999 33.376465 21.886987
    Unten links KachelX 38843 KachelY + 1 28684 0.58243333 0.38191102 33.370972 21.881890
    Unten rechts KachelX + 1 38844 KachelY + 1 28684 0.58252920 0.38191102 33.376465 21.881890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38199999-0.38191102) × R
    8.89700000000215e-05 × 6371000     		dl = 566.827870000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38199999-0.38191102) × R
    8.89700000000215e-05 × 6371000     		dr = 566.827870000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58243333-0.58252920) × cos(0.38199999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927920941531363 × 6371000     		do = 566.762762614229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58243333-0.58252920) × cos(0.38191102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927954103832577 × 6371000     		du = 566.783017742236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38199999)-sin(0.38191102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927920941531363-0.927954103832577)×R²
    abs(0.58252920-0.58243333)×3.31623012140847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31623012140847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31623012140847e-05×40589641000000     		ar = 321262.670325543m²